Specialkurs i matematik, 5hp

Höstterminen 2007

Är du extra intresserad av matematik? Så intresserad att du tror att du kan klara av mer än de vanliga kurserna under den första terminen? I så fall är kanske specialkursen något för dig.

Förutom att erbjuda fördjupade kunskaper i matematik ska vi undersöka hur forskning inom de matematiska ämnena går till och hur man hittar information om matematik. Och det handlar inte bara om det som man vanligen kallar matematik, utan även om matematisk logik, matematisk statistik, datoriserad bildbehandling och beräkningsvetenskap.

Syften

• Att ge studenterna tillfälle att fördjupa sina kunskaper i matematik i anslutning till den första terminens studier, det vill säga i algebra och kombinatorik, matematisk analys samt linjär algebra.
• Att studenterna får lära sig söka matematisk information och att använda relevanta biblioteksresurser.
• Att ge studenterna möjlighet att samverka med aktiva forskare och därigenom få kännedom om forskningsprocessen och om samhälleliga aspekter av matematisk forskning.

Observera att denna kurs inte ersätter någon annan. Den är ett supplement till annan undervisning och ger också fem extra poäng. Meningen är att du skall läsa de vanliga kurserna och följa deras undervisning. Men du får genom denna kurs något extra. Du får möjlighet till fördjupade kunskaper och du får tillfälle att träffa forskare och lära dig om forskningsprocessen. Inblickar som du kommer att ha glädje av i dina fortsatta studier.

Första mötet är den 26 september, kl 10.15 i sal P2144. Välkomna!

Information

• Formell kursplan
• Schema
• Studietips

Möten

Vi introducerar produktmängden och potensmängden. För att få lite struktur på saker och ting talar vi om relationer och avbildningar. Vi diskuterar de fundamentala begreppen injektiv, surjektiv och bijektiv. Föreläsningsanteckningar om mängder och kardinalitet delas ut.

Hemuppgifter 1

2007-09-27 Vi fortsätter diskussionen om funktioner. Introduktion till kardinaltal. Man jämför mängders storlek med hjälp av bijektioner och injektioner. Aritmetik för ändliga kardinaltal och för oändliga. alef-noll+alef-noll=alef-noll. Kardinaltalet för potensmängden är strikt större än kardinaltalet för mängden. Föreläsaren trasslar in sig i ett motsägelsebevis, och kommer inte riktigt loss. Vi reder ut nästa gång.

2007-10-02 Vi diskuterar motsägelsebevis i allmähnet och visar att det finns oändligt många primtal. Vi diskuterar också begreppet entydighet och speciellt entydiga funktionsutvidgningar. Vi bevisar (äntligen) att x<2^x för alla kardinaltal x samt Cantor-Bernsteins sats.

2007-10-04 Vi diskuterar kardinaltal för talmängder. CardN<cardR, cardR=cardC. Relationer och deras olika egenskaper. Ordningar och ekvivalensrelationer. Begreppet ekvivalensklass. Partitioner. Speciellt restklasser modulo n.

Hemuppgifter 2 och 3

2007-10-23 Genomgång av hemuppgifter 1. Tidsfristen för hemuppgifter 2 skjuts fram till fredag 26 oktober. Vi diskuterar (mycket översiktligt) olika matematiska strukturer på de reella talen. Introduktion till grupper och abelska grupper.

2007-10-26 Fortsättning om grupper. Grupperna Z_n och Z_p^*, där n är ett positivt heltal och p ett primtal. Något om strukturbevarande avbildningar och homomorfismer mellan grupper.

Föreläsningsanteckningar om grupper och RSA-algoritmen delas ut.

Hemuppgifter 4

2007-10-29 Ännu mer om grupper och homomorfismer. Genomgång av några hemuppgifter.

2007-10-31 Genomgång av resterande hemuppgifter. Bevis av att antalet element i en delgrupp till en ändling grupp G delar antalet element i G. Bevis av att a^cardG=e för alla element a∈G.

2007-11-02 Martin Herschend föreläser om representationsteori för grupper och representationsteori för koger. En övning delas ut: bestäm matriserna för en (viss) representation av S₃ (dvs. permutationer av en mängd med 3 element) i R².

Ett fel upptäcks i Övning 2, Hemuppgifter 4. Talen p och q ska vara primtal, och inget annat.

Hemuppgifter 5

2007-11-06 Deltagarna presenterar lösningar på problemen i Hemuppgifter 4. Introduktion till och exempel på kroppar. Talmängderna C, R och Q är kroppar. Talmängden Z är det inte. Kropparna Z_p och Q[√2].

Deltagarna får i uppgift att leta reda på och skriva ut artikeln: D. Zagier, A one-sentence proof that every prime p≡1(mod 4) is a sum of two squares, Amer. Math. Monthly 97. 1990. Läs och markera de ord/beteckningar du inte förstår.

2007-11-09 Erik Ekström föreläser om finansiell matematik och optionsprissättning. Ett problem delas ut. Andra timmen forsätter vi med kroppar och ordnade kroppar. Vi visar att ändliga kroppar inte kan ordnas och att C inte kan ordnas.

2007-11-12 Deltagarna presenterar lösningar på problemen om RSA-algoritmen. Diskussion och exempel. Därefter analys. Supremum och infimum kan alltid beräknas över R (på begränsade mängder, åtminstone) men inte alltid över Q.

OBS! Den 22/11 kl 15 håller vi till på Ångströmsbiblioteket för en introduktion till informationssökning. Uppgift till fredag: Försök förstå vad du inte förstår i Zagiers artikel.

2007-11-16 En första genomgång av Zagiers artikel. Ett antal delproblem återstår. Deltagarna får i uppgift att lösa dessa och förbereda muntliga redovisningar till den 23 november. Sedan talade vi om betingad och absolut konvergens. Genom att ändra ordning på termerna kan en betingat konvergent serie fås att konvergera mot vad som helst eller att divergera. Vi bevisade att de reella talen har den Arkimediska egenskapen, dvs. att det inte finns några "oändligt små" tal. Vi visar att mellan två reella tal finns det alltid ett rationellt tal. Vi konstruerar en funktion som är deriverbar överallt, men där derivatan inte är kontinuerlig.

2007-11-19 Vi talar om Brouwers fixpunktsats, som säger att en kontinuerlig avbildning på enhetsbollen (i n dimensioner) alltid har en fixpunkt. Exempel som visar att satsen är falsk om man tar bort en punkt. Därefter fler exempel på konstruktioner analys. Funktioner som inte är kontinuerliga någonstans. En funktion som kontinuerlig i irrationella punkter men diskontinuerlig i alla rationella punkter.

2007-11-22 Karin Sjöstrand demonstrerar informationssökning i diverse olika databaser för matematik, och berättar om möjligheter att låna in böcker och få tag på artiklar genom Ångströmbiblioteket.

2007-11-23 Genomgång av Zagiers artikel. Alla primtal som är kongruenta med 1 modulo 4 kan skrivas som en summa av två kvadrater. Konstruktion av en funktion som är oändligt många gånger deriverbar, konstant 0 då x<0 och konstant 1 då x>1. Ett uppgiftsblad om talkroppar delas ut.

Hemuppgifter 6

2007-11-27 Vad är ett topologiskt rum? Vad menas med en kontinuerlig funktion? Dessa frågor besvaras och vi jämför med ε-δ-definitionen av kontinuitet. Några exempel på topologiska rum. Khalimskylinjen.

2007-11-28 Anders Södergren föreläser om analytisk talteori. Riemanns zeta-funktion med tillämpningar på primtal. Andra timmen ägnas åt analys. Hopningspunkter och topologisk tillslutning definieras.

2007-11-30 Ove Ahlman berättar om Olov Wilanders forskning, om konstruktiv matematik och automatiserade bevis. Sedan fortsätter vi med analys. Mer om slutna mängder och hopningspunkter. Begreppet kompakthet. Vi visar att en kompakt mängd i R (och i metriska rum) är sluten. Formulering av Heine–Borels sats.

Hemuppgifter 7

2007-12-04 Bevis av att π är irrationellt. Mer om kompakthet: slutna, begränsade intervall är kompakta. Ett feltryck i uppgift 7a upptäcks: olikheten ska inte vara strikt (jämför med definitionen av kontraktion i uppgift 7b).

2007-12-07 Stella Riad berättar om Michael Melgaards forskning, som rör matematisk fysik och Schrödingerekvationen. Martin Edbor berättar om Johan Björklunds forskning om algebraiska knutar i projektiva rum. Sedan talar vi om värmeledningsekvationen. Andra timmen ägnas åt Heine–Borels sats och Weierstrass sats. Vi bevisar en generaliserad version av Min/Max-satsen.

Hemuppgifter 8

2007-12-11 Josef Cullhed berättar om Stefan Engbloms forskning, som handlar om beräkningar av kemiska reaktioner där ett relativt litet antal molekyler är inblandade, t.ex. i celler. Sedan talar vi om Kantormängden, som har samma kardinalitet som de reella talen, men som ändå är en nollmängd.

2007-12-12 Genomgång av Banachs fixpunktsats för reella tal. Introduktion till itererade funktionssystem (IFS). Hausdorff-metriken för att mäta avstånd mellan kompakta mängder.

2007-12-14 Rune Suhr berättar om Fredrik Dahlgrens forskning, om beräkningsbarhet. Emil Andersson talat om Gunnar Bergs forskning och matematikens histora och mening. En livlig diskussion utbryter om huruvida matematiken upptäcks eller skapas och ifall matematiken är oberoende av "matematikerna". Andra timmen talar Friedrich Hehl om David Sumpters forskning och om gräshoppors kollektiva (icke-) medvetande och beteende. Den sista stunden ägnas åt fraktaler och IFS.

2007-12-19 Sista mötet. Vi talar om approximationer av transcendenta tal och algebraiska tal och den Arkimediska egenskapen. Sedan avslutade vi kursen med några exempel på fraktaler. Här finns en pdf med kursmaterialet sammanställt: specialkurs 2007.

Ansvarig för innehållet: Erik Melin, melin@math.uu.se.

Sidan ändrad för 230 veckor och 4 dagar sedan, 2007-12-20