En forskarutbildningskurs (6p) i matematisk logik.
(In English, Please.)
Toposteorin växte fram ur observationen att kategorin av kärvar, över ett fixerat topologiskt rum, bildar ett matematiskt universum av "kontinuerligt varierande mängder" som lyder intuitionistiska logiska lagar snarare än klassiska. Dessa kärvmodeller, eller Grothendiecktoposar, visar sig vara generaliseringar av Kripke- och Bethmodeller (vilka är fundamentala för olika ickeklassiska logiker) såväl som av Cohens forcingmodeller för mängdteorin. Toposbegreppet utvidgades sinom tid och gavs en elementär axiomatisering av Lawvere och Tierney; begreppet visade sig svara emot en särskild högre ordningens intuitionistisk logik. Mångahanda logiker och typteorier har sedan dess karakteriserats med hjälp av kategoriteori, av vilka flera är viktiga inom de matematiska grunderna för programmeringsspråk. En av de mest anmärkningsvärda aspekterna av toposteorin är att den ger naturliga modeller för teorier som saknar klassiska (booleskvärda) modeller, exempelvis teorin för syntetisk differentialgeometri.
Denna forskarutbildningskurs erbjuder en inledning till toposteori och kategorisk logik. Följande ämnen kommer att behandlas: Kategorisk logik: förhållande mellan logiker, typteorier och kategorier. Generaliserade topologier, innefattande formella rum. Kärvar. Pretoposar och toposar. Beth-Kripke-Joyal-semantik. Booleska toposar och Cohenforcing. Barrs sats och Diaconescu-övertäckningar. Geometriska morfier. Klassificerande toposar. Kärvmodeller för infinitesimalkalkyl.
Vi kommer att förutsätta förtrogenhet med grundläggande kategoriteori, såsom den förmedlas i en fördjupningskurs i algebra eller domänteori. Kursen ges på engelska språket om så önskas.
S. Mac Lane and I. Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer 1992.
P.T. Johnstone. Topos Theory. Academic Press 1977.
J. Lambek and P.J. Scott: An introduction to Higher Order Categorical Logic. Cambridge University Press 1986
S. Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer 1971.
A.M. Pitts. Categorical Logic. Chapter in the Handbook of Logic in Computer Science, vol. VI. Oxford University Press (under utgivning)