Fourieranalys NV2, VT 2006

Kursen kan läsas i grundutbildningen eller forskarutbildningen.

Lärare: Svante Janson.
******** Samtliga 5 som lämnat in inlämningsuppgift 6 är godkända på kursen. ************** Inlämningsuppgifterna kan återfås hos mig.

Senaste nytt: Abelpris för Fourieranalys mm

Lennart Carleson, tidigare professor i Uppsala, har tilldelats årets Abelpris på 6 miljoner norska kronor för bland annat sina insatser inom Fourieranalys. Se Motivering och Utförliga presentationer av hans resultat mm
(If you prefer English: Announcement and Detailed descriptions of Carleson's results.)

Kursbeskrivning

Kursen skall ge förtrogenhet med modern Fourieranalys och harmonisk analys.

Kursens innehåll: Fourierserier och multipla Fourierserier, Fouriertransformen i en och flera variabler, Fouriertransformen på lokalkompakta abelska grupper, Parsevals och Plancherels formler, Hausdorff-Youngs olikhet, klotytefunktioner, singulära integraler, Hardyrum och BMO, integraloperatorer, Riesz-Thorins och Marcinkiewicz interpolationssatser, wavelets

Särskild behörighet: Matematik 60 poäng inkl. Fourieranalys NV1 eller motsvarande kunskaper. Integrationsteori D rekommenderas.

Kurslitteratur

Steven G. Krantz, A Panorama of Harmonic Analysis, The Mathematical Association of America, 1999.

Som bredvidläsning för intresserade rekommenderas:

M. Frazier: An Introduction to Wavelets through Linear Algebra. Springer 1999.
L. Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 2004.
Y. Katznelson, An introduction to Harmonic Analysis. Wiley, New York, 1968.
E. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1993.

Schema

Föreläsningar måndagar 10.15-12.00 och onsdagar 13.15-15.00 i sal 2:214, med undantag för vissa veckor. Se schema för detaljer och ev. ändringar.
Kursstart 30 januari 10.15.
***** Ingen föreläsning måndagen den 15/5. *****
Sista föreläsning 29 maj.

Obligatoriska Inlämningsuppgifter

Föreläsningar

Här följer, mycket grovt, innehåll för olika föreläsningar och ungefär vilka avsnitt i kursboken som följts.

30/1. Fourierserier och Fouriertransform, i en och flera variabler. T, R, Z. L¹, L² och, mer allmänt, L^p.
1/2. Fouriertransformen på Lokalkompakta abelska grupper. [Katznelson, Ch VII]
6/2. Fourierserier. Riemann-Lebesgues lemma. Konvergens av Fourierserier. Dirichletkärnan. [1.1, 1.2]
8/2. Summabilitet av Fourierserier. Cesàrokonvergens. Abelkonvergens. Fejérsummor. Fejérkärnan. Poissonkärnan. De la Valleé Poussinkärnan. Samband med harmoniska funktioner i enhetscirkeln. [1.3, 1.4]
13/2. Absolutkonvergenta Fourierserier. Punktvis divergens av Fourierserier (i en punkt för någon kontinuerlig funktion, överallt för någon integrerbar funktion). Carleson-Hunts sats om konvergens nästan överallt (utan bevis). L²-teori. Parsevals relation. Polarisering. Riesz-Fischers sats. Hausdorff-Youngs olikhet. Riesz-Thorins interpolationssats. [1.6]
15/2. Hardy-Littlewoods maximalfunktion. L^{p ∞} (= svaga L^p). Riesz-Thorins och Marcinkiewicz interpolationssatser. [1.5, Appendix III, VII]
20/2. Maximalfunktioner och punktvis konvergens. [1.5]
22/2. Normkonvergens av Fourierserier i L^p. Hilberttransformen. Principalvärdesintegral. [1.6]
27/2. Fouriertransformen på Rⁿ. Fouriertransformen och translationer, dilatationer och rotationer. Schwartzfunktioner. Faltning. Young's olikhet. Regularisering med faltning. [2.1, 2.2, Appendix II]
1/3. Mer om Fouriertransformen på Rⁿ. Inversionsformeln. Gauss-Weierstrass-summation. Fouriertransformen på L²(Rⁿ). Plancherels formel. Heisenbergs osäkerhetsrelation. [2.3, 2.4]
6/3. Konvergens av Fourierserier i flera variabler. Kvadratisk konvergens i L^p. Sfärisk konvergens i L^p. Samband med Fouriermultiplikatorer på L²(Rⁿ). [3.1-3.4]
8/3. Motexempel för sfärisk konvergens i L^p(T²). Enhetsskivan som (icke) Fouriermultiplikator. Kakeyas nålproblem och Besicovitch's konstruktion. [3.5]
20/3. Fouriertransformen och invarians under translationer, dilatationer och rotationer. Mellintransformen (= Fouriertransformen på R₊ som multiplikativ grupp). Klotytefunktioner. [4]
22/3. Fraktionella derivator och integraler. Rieszpotentialer. Riesztransformer. [5.1]
5/4. Laplacetransformen (enkelsidig och dubbelsidig). Karakteristiska funktioner och momentgenererande funktioner i sannolikhetsteori.
19/4. Rum av homogen typ. Whitneyuppdelning. Calderon-Zygmund-uppdelning. Calderon-Zygmund-operatorer, singulära integraler. [5.2, 6.1, 6.2]
24/4. Calderon-Zygmund-operatorer, singulära integraler. [5.2, 6.2, m.m.]
26/4. Mer om homogena rum, integraloperatorer och singulära integraler. Pseudodifferentialoperatorer. Hardyrum i olika skepnader. [6.2, 5.3, 5.4, 5.5]
3/5. Hardyrum. [5.6, 5.7, 6.3]
17/5. BMO (Bounded Mean Oscillation). [5.8]
22/5 T(1) satsen. Cotlars lemma. Wavelettar. Haarbasen. [6.4, 7.1, 7.2, 7.3]
24/5. Konstruktion av en waveletbas från en multiresolutionsanalys. [7.5, Frazier]
29/5. Konstruktion av en multiresolutionsanalys. Meyers waveletbas. Daubechies waveletbaser. Waveletbaser som baser i L^p, H^p, Lipschitzrum osv. [7.5, Frazier]

Tentamen

Obligatoriska inlämningsuppgifter ges under kursens gång. Någon ytterligare tentamen planeras inte.

En kort ordlista

Engelska	Svenska
convolution	faltning
dilation	dilatation
spherical harmonic	klotytefunktion