$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T Erlandsson\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par LINJÄR ALGEBRA MN1\\ CHAPTER 1.4 \end{flushright}}$

$$\mbox{Låt}\quad\mathbf{a}_1=\left[\begin{array}{cc} &a_{11}\... ...{cc} &b_1\\ &\cdot\\ &\cdot\\ &b_m\end{array}\right]\in R^m$$

vara givna vektorer.

Vi frågar: Ligger $\,\mathbf{b}\,$ i det linjära höljet av $\,\mathbf{a}_1, \dots,\mathbf{a}_n,$ dvs i Span $\{\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n\}?$ Vi frågar alltså om det finns skalärer $\,x_1,\dots,x_n$ sådana att

$$x_1\mathbf{a}_1+\dots +x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}?$$ (1)

Denna ekvation kan vi skriva

$$x_1\left[\begin{array}{cc} &a_{11}\\ &\cdot\\ &\cdot\\ &a... ...{array}{cc} &b_1\\ &\cdot\\ &\cdot\\ &b_m\end{array}\right]$$ (2)

Enligt definitionerna av multiplikation av en vektor med en skalär och addition av vektorer blir ekvation (2)

$$\left[\begin{array}{cccc}&a_{11}x_1+&\dots&+a_{1n}x_n\\ &\c... ...{array}{cc} &b_1\\ &\cdot\\ &\cdot\\ &b_m\end{array}\right]$$ (3)

Om vi inför matriserna

$$A=\left[\begin{array}{cccc}&a_{11}&\dots&a_{1n}\\ &\cdot&\d... ...{cc} &x_1\\ &\cdot\\ &\cdot\\ &x_n\end{array}\right]\in R^n$$

kan vi enligt definitionen av multiplikation av matriser slutligen skriva ekvation (3) som matrisekvationen

$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$ (4)

och detta är naturligtvis enligt (3) inget annat än ekvationssystemet

$$\left\{\begin{array}{ccccc}&a_{11}x_1+&\dots&+a_{1n}x_n=&b_1\... ...\cdot&\\ &a_{m1}x_1+&\dots&+a_{mn}x_n=&b_m\end{array}\right.$$ (5)

Tillbaka till läsanvisningar