$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T Erlandsson\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par LINJÄR ALGEBRA MN1\\ LÄSANVISNINGAR\\ CHAPTER 7\end{flushright}}$

SECTION 7.1

I Ch 5 fann vi endast en sats med tillräckliga villkor för att en $\,n\times n\,$ matris är diagonaliserbar, nämligen då den har $\,n\,$ olika egenvärden och sådana matriser är ju väldigt speciella. I Ch 7 däremot visar det sig att en stor klass av matriser faktiskt är garanterat diagonaliserbara, tom ortogonalt diagonaliserbara, nämligen de symmetriska matriserna. Detta är innehållet i den fundamentala Spectral Theorem for Symmetric Matrices. Det är viktigt att observera att egenvektorer som då hör till olika egenvärden är automatiskt ortogonala, men att man i varje egenrum av dimension större än ett själv måste skapa en ortogonal bas av egenvektorer,
t ex med Gram-Schmidt. I dessa sammanhang förekommer ofta ortogonala matriser. Observera att de har ortonormala kolonner och ortonormala rader. I Ch 6.2 står det: An orthogonal matrix is a square invertible matrix $\,U\,$ such that $\,U^{-1}=U^{T}$. Det är alltså jättelätt att invertera en ortogonal matris! Det är bara att spegla matrisen i huvuddiagonalen.

Övningar: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 28, 29, 30, 31, 32

SECTION 7.2

Vilken är den geometriska tolkningen av kurvorna

$$5x_1^2-4x_1x_2 + 5x_2^2=48 \quad \mbox{och}\quad x_1^2-8x_1x_2 - 5x_2^2=16?$$

Genom att vrida koordinatsystemen så att dess axlar kommer att ligga längs respektive kurvas axlar blir det lätt att studera kurvorna. Denna teknik är fundamental och är innebörden av The Principal Axes Theorem.

Övningar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15[M], 17[M], 23, 24

SECTION 7.3

Från analysen är vi vana att söka maximum och minimum genom att derivera. När det gäller kvadratiska former kan vi lösa extremvärdesproblem tom med bivillkor genom diagonalisering.

Övningar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Supplementary Exercises

4, 5

Svar till jämna problem

Svar Section 7.2

2.

a. $\,4x_1^2 + 2x_2^2+x_3^2 + 6x_1x_2 + 2x_2x_3$ b. 21 c. 5

4.

a. $\left[\begin{array}{rr}20&7.5\\ 7.5&-10\end{array}\right]\,$b. $\,\left[\begin{array}{rr}0&.5\\ .5&0\end{array}\right]$

6.

a. $\,\left[\begin{array}{ccc}5&5/2&-3/2\\ 5/2&-1&0\\ -3/2&0&7\end{array}\right]\,$ b. $\,\left[\begin{array}{rrr}0&-2&0\\ -2&0&2\\ 0&2&1\end{array}\right]\,$

8.

$\,P=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr}2&-1&2\\ -1&2&2\\ 2&2&-1\end{array}\right] , \mathbf{y}^{T}D\mathbf{y}=15y_1^2+9y_2^2 +3y_3^2$

10.

Positivt definit; egenvärdena är 11 och 1

Variabelbytet: $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$, där $\,P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr}2&1\\ -1&2\end{array}\right].$ Ny kvadratisk form: $11y_1^2+y_2^2$

12.

Negativt definit; egenvärdena är -1 och -6

Variabelbytet: $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$, där $\,P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr}1&-2\\ 2&1\end{array}\right].$ Ny kvadratisk form: $-y_1^2-6y_2^2$

14.

Indefinit; egenvärdena är 9 och -1

Variabelbytet: $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$, där $\,P=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[\begin{array}{rr}3&-1\\ 1&3\end{array}\right].$ Ny kvadratisk form: $9y_1^2-y_2^2$

Svar Section 7.3

2.

$\mathbf{x}=P\mathbf{y}, P=\left[\begin{array}{rrr} 1/\sqrt{3}&-2/\sqrt{6}&0\\ ... ...3}&1/\sqrt{6}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{3}&1/\sqrt{6}&1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

4.

a. 5 b. $\pm\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right]$ c. 2

6.

a. $\frac{15}{2}$ b. $\pm\left[\begin{array}{c}3/\sqrt{10}\\ 1/\sqrt{10}\end{array}\right]$ c. $\frac{5}{2}$

8.

Varje enhetsvektor som är ortogonal mot $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\quad$ 10. $1+\sqrt{17}$

Tillbaka till läsanvisningar

Tillbaka till Linjär algebra MN1