$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...onen}\\ T. Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman, \\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ 2002-03-18\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng. För ES-programmet gäller sedvanliga betygsgränser.
Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,h\,$ är vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 1... ...1 \\ 1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0\\ h \\ 0 \end{array}\right]$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}-2&4\\ -1&2 \end{array}\right],$ $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} h\\ 1 \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ ligger $\,\mathbf{y}\,$ i värderummet av $\,T$ (the range of $\,T$)?

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning (transformation) som definieras av en rotation $\,\pi/2\,$ radianer moturs. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^4\,$ vara en linjär avbildning (transformation) sådan att

$$\,T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,-x_1+x_2,x_1-x_2,-x_1-x_2 ).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&-2&1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c} 1\\ h\\ 1 \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,h\,$ gäller att $\,\mathbf{w}\,$ tillhör
nollrummet Nul $A\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&1&1 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrr}1&-1&1&-1&1\\ 0&0&0&1&-1 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av nollrummet Nul $A\,?$

8.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrr}2&4&-2&1&3\\ -2&-5&7&3&-1\\ 3&7&-8&6&3 \end{array}\right]$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rrrrr}2&4&-2&1&3\\ 0&1&-5&-4&2\\ 0&0&0&17&1 \end{array}\right].$

Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A.$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}2&-1\\ -6&3 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\left[\begin{array}{c}1\\ 2 \end{array}\right].$ Vad är motsvarande egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr} 1&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1\end{array}\right]\,$ har egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 4. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&1\\ 0&h\end{array}\right]\,$ diagonaliserbar?

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rr} 16&-4\\ -4&1 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{c} -4\\ 1 \end{array}\right].$ Bestäm ytterligare en egenvektor $\,\mathbf{v}_2\,$
till $\,A\,$ så att $\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}\,$ blir en bas av egenvektorer för $\,\mathbf{R}².$

13.

Låt $\,W\,=\mbox{Span}\left\{\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right]\right\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 2\\ 0 \end{array}\r... ..._2}=\left[\begin{array}{c} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right] .$$

Bestäm den ortogonala projektionen av $\,\mathbf{y}\,$ på det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{u_1}\,$ och $\,\mathbf{u_2}.$

15.

$\,\mathbf{P}_1\,$ är rummet av polynom av grad högst ett inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_1\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (1)

Beräkna $\,<p,q>\,$ då $\,p(t)=1\,$ och $\,q(t)=t.$

16.

Vad är normen av polynomet $\,p(t)=1\,$ dvs $\,\sqrt{<p,p>},$ med avseende på
den inre produkten (1)?

17.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&h&2\\ 1&1&3\\ 2&3&1\end{array}\right]$ ortogonalt diagonaliserbar?

18.

$$A=\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&... ...sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2} \end{array}\right].$$

Bestäm en bas för egenrummet hörande till egenvärdet 0.

19.

Grafen av ekvationen $\,2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=1\,$ är en ellips. Bestäm största avståndet till origo från en punkt på ellipsen.

20.

Bestäm ett variabelbyte $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där $\,P\,$ är en ortogonal matris, så att den kvadratiska formen $3x_1^2-8x_1x_2-3x_2^2\,$ transformeras till en kvadratisk form utan blandande termer (cross-product terms).

PROBLEM

1.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\ 1&0&1&0 \end{array}\right]$ definierar en avbildning (transformation) $\,T:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m\,$
genom $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ Bestäm $\,n\,$ och $\,m,$ rangen av matrisen $\,A\,$ en bas för
kolonnrummet Col $A\,$ samt en bas för nollrummet Nul $A.$

2.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}2&0&0&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&2&0\\ 0&1&0&1 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\, \mathbf{... ...\right], \mathbf{v_3}=\,\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$
$\mathbf{v_4}=\,\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right].$ Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att

$$\,A=PDP^{-1}.$$

3.

$\,\mathbf{P}_1\,$ är rummet av polynom av grad högst ett inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_1\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (2)

Låt $\,W=\mbox{Span}\{t\}\,$ i $\,\mathbf{P}_1\,$ och $\,W^\perp\,$ det ortogonala komplementet med avseende på den inre produkten (2). Bestäm en bas för $\,W^\perp.$

4.

Grafen av ekvationen $\,x_1^2+4x_1x_2+x_2^2=1\,$ är en hyperbel. Bestäm koordinaterna i $x_1x_2$-systemet för de två punkter där hyperbeln skär sin ena principalaxel.

EXTRA PROBLEM

1.

$\,A= \left[\begin{array}{rr}-1&-1\\ 1&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{r... ...\\ 1&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}0&1\\ -1&-1\end{array}\right]\,$ har komplexa egenvärden. Vilka är egenvärdena?

2.

Vad är de singulära värdena av matrisen $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&2&0\\ 2&1&0\end{array}\right]?$

Tillbaka till tentamen 18 mars 2002

Tillbaka till Linjär algebra MN1