$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman\\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2002-03-18 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2002\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

Alla $h$

2.

$h=2$

3.

$\left[\begin{array}{rr}0&-1\\ 1&0\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{rr}1&1\\ -1&1\\ 1&-1\\ -1&-1\end{array}\right]$

5.

$h=1$

6.

En skojig bas för nollrummet är $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right]$

7.

3

8.

En bas är t ex $\left[\begin{array}{r}2\\ -2\\ 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}4\\ -5\\ 7\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}1\\ 3\\ 6\end{array}\right]$

9.

0

10.

1

11.

För alla $h\ne 1$

12.

T ex $\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{r}1\\ 4\end{array}\right]$

13.

T ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

14.

$\mathbf{u}_1$

15.

1

16.

$\sqrt{2}$

17.

$h=1$

18.

$\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

19.

1

20.

$P=\left[\begin{array}{rr}2/\sqrt{5}&1/\sqrt{5}\\ -1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5}\end{array}\right]$

1.

$n=4,\,m=2,$ rank $A=1,$ en bas för Col $A$ är tex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ och en skojig bas för Nul $A$ är
t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}... ... 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ som till och med är ortogonal.

2.

Beräkning ger $A\mathbf{v_1}=2\mathbf{v_1},$ $A\mathbf{v_2}=2\mathbf{v_2},$ $A\mathbf{v_3}=2\mathbf{v_3},$ $A\mathbf{v_4}=0\mathbf{v_4}.$ $A\,$ har alltså ett egenvärde $\lambda=2\,$ av multiplicitet 3 och ett egenvärde $\lambda=0$ av multiplicitet 1. Egenvektorerna är ortogonala. $P=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1/\sqrt{2}&0&-1/\sqrt{2}\\ 0&0&1&0\\ 0&1/\sqrt{2}&0&1/\sqrt{2}\end{array}\right],$ $D=\left[\begin{array}{rrrr}2&0& 0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0 &0&2&0\\ 0&0&0&0\end{array}\right].$ Inversen $\,P^{-1}=P^T.$

3.

dim $W^\perp=$dim $\mathbf{P}_1-$dim $W$= 2-1=1. Låt $\,\hat{1}$ vara den ortogonala projektionen av 1 på $\,t.$ En bas för $\,W^\perp\,$ är $1-\hat{1}=1-\frac{<1,t>}{<t,t>}t=1-\frac{1}{1}t=1-t.$

4.

Kvadratiska formens matris $\left[\begin{array}{rrr}1&2\\ 2&1\\ \end{array}\right].$ Egenvärdena är 3 och $-1.$ $\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ $P=\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right].$ Den nya kvadratiska formen är $\mathbf{y}^TD\mathbf{y}=3y_1^2-y_2^2.$ Hyperbelns skärningspunkter med
$\,y_1$-axeln, som är en principalaxel, är $(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},0)$ i $y_1y_2-$systemet. Dessa svarar mot $(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})$ och $(-\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})$ i $\,x_1x_2$-systemet.

1.

$2\pm i$

2.

$\sigma_1=3,\,\, \sigma_2=1,\,\, \sigma_3=0$

Tillbaka till tentamen 18 mars 2002

Tillbaka till Linjär algebra MN1