$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...onen}\\ T. Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman, \\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ 2002-06-07\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng. För ES-programmet gäller sedvanliga betygsgränser.
Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,h\,$ är vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right] \mbox{och} \left[\begin{array}{c} 0\\ h \end{array}\right]$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}1&0\\ 1&1 \end{array}\right],$ $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} h\\ 1 \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ ligger $\,\mathbf{y}\,$ i värderummet av $\,T$ (the range of $\,T$)?

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning (transformation) som definieras av en rotation $\,\pi/4\,$ radianer moturs. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^4\to \mathbf{R}^2\,$ vara en linjär avbildning (transformation) sådan att

$$\,T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,x_3+x_4).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&1\\ 0&1&1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c} h\\ h\\ -h \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,h\,$ gäller att $\,\mathbf{w}\,$ tillhör
nollrummet Nul $A\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\ 0&1&0&-1 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrr}1&1&-2&4\\ 1&1&-2&4\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av nollrummet Nul $A\,?$

8.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\ 2&-2&2&-1\\ -1&1&5&-4 \end{array}\right]$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\ 0&0&4&-3\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$

Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A.$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}2&-1\\ -6&3 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\left[\begin{array}{c}-1\\ 3 \end{array}\right].$ Vad är motsvarande egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr} 1&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0\end{array}\right]\,$ har egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 3. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rr} h&0\\ h&h\end{array}\right]\,$ diagonaliserbar?

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{c} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$ Bestäm en tredje egenvektor $\,\mathbf{v}_3\,$ till $\,A\,$ så att $\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\,$ blir en bas av egenvektorer för $\,\mathbf{R}^3.$

13.

Låt $\,W\,=\mbox{Span}\left\{\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right]\right\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} -9\\ 1\\ 6 \end{array}\righ... ...bf{u_2}=\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\\ -2 \end{array}\right] .$$

Bestäm den ortogonala projektionen av $\,\mathbf{y}\,$ på det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{u_1}\,$ och $\,\mathbf{u_2}.$

15.

$\,\mathbf{P}_1\,$ är rummet av polynom av grad högst ett inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_1\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(1)q(1)$$ (1)

Beräkna $\,<p,q>\,$ då $\,p(t)=1-t\,$ och $\,q(t)=1+t.$

16.

Vad är normen av polynomet $\,p(t)=1,$ dvs $\,\sqrt{<p,p>},$ med avseende på
den inre produkten (1)?

17.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&h\\ 1&1\end{array}\right]$ ortogonalt diagonaliserbar?

18.

$$A=\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&... ...sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2} \end{array}\right].$$

Bestäm en bas för egenrummet hörande till egenvärdet 2.

19.

Grafen av ekvationen $\,2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=1\,$ är en ellips. Bestäm minsta avståndet till origo från en punkt på ellipsen.

20.

Vid variabelbytet $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där

$$P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr}1&-2\\ 2&1 \end{array}\right]$$

transformeras den kvadratiska formen

$$Q(\mathbf{x})=\,-5x_1^2+4x_1x_2-2x_2^2$$

till en ny kvadratisk form utan blandande termer (cross-product terms). Bestäm den nya kvadratiska formen.

PROBLEM

1.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 1&1\\ 1&1\\ 1&1 \end{array}\right]$ definierar en avbildning (transformation) $\,T:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m\,$
genom $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ Bestäm $\,n\,$ och $\,m,$ rangen av matrisen $\,A\,$ en bas för kolonnrummet Col $A\,$ samt en bas för nollrummet Nul $A.$

2.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (2)

Låt $\,W=\mbox{Span}\{1\}\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ och $\,W^\perp\,$ det ortogonala komplementet med avseende på den inre produkten (2). Bestäm en bas för $\,W^\perp.$

3.

Grafen av ekvationen $\,5x_1^2-4x_1x_2+5x_2^2=1\,$ är en ellips. Bestäm koordinaterna i
$x_1x_2$-systemet för de fyra punkter där ellipsen skär sina principalaxlar.

4.

För vilka värden på $\,h\,$ är

$$\,A=\left[\begin{array}{rr}1&h\\ 1&h \end{array}\right]$$

diagonaliserbar? Bestäm för varje sådant värde på $\,h\,$ en inverterbar matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att

$$\,A=PDP^{-1}.$$

EXTRA PROBLEM

1.

Om $\,a\,$ och $\,b\,$ ($b\ne 0$) är reella har $\,A= \left[\begin{array}{rr}a&-b\\ b&a\end{array}\right]\,$ de komplexa egenvärdena $\,a\pm bi.$ En egenvektor som svarar mot $\,a+bi\,$ är $\, \left[\begin{array}{r}1\\ -i\end{array}\right].$ Ange en egenvektor som svarar mot $\,a-bi?$

2.

Vad är de singulära värdena av matrisen $\,A=\left[\begin{array}{rrr}\sqrt{3}&2\\ 0&\sqrt{3}\end{array}\right]?$

Tillbaka till tentamen 7 juni 2002

Tillbaka till Linjär algebra MN1