$\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman\\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2002-06-07 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2002\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
$h=0$

2.
För alla $h$

3.
$\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

4.
$\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\ 0&0&1&1\end{array}\right]$

5.
För alla $h$

6.
En skojig bas för nollrummet är $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

7.
3

8.
En bas är t ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}3\\ 2\\ 5\end{array}\right]$

9.
5

10.
1

11.
$h=0$

12.
T ex $\mathbf{v}_3=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{r}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

13.
T ex $\left[\begin{array}{r}-1\\ 1\end{array}\right]$

14.
$\mathbf{y}$

15.
0

16.
$\sqrt{2}$

17.
$h=1$

18.
$\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

19.
$\frac{1}{\sqrt{3}}$

20.
$-y_1^2-6y_2^2$

1.
$n=2,\,m=4,$ rank $A=1,$ en bas för Col $A$ är tex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ och en bas för Nul $A$ är
t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right].$

2.
dim $W^\perp=$dim $\mathbf{P}_2-$dim $W$= 3-1=2. Låt $\,p(t)=a+bt+ct^2\in \,W^\perp\,$ vilket är ekvivalent med att $\,0=<p,1>=a-b+c+a+a+b+c=3a+2c.$ $\,b=1\,$ respektive $\,a=2,c=-3\,$ ger basen $\,\{t,2-3t^2\}\,$ för $\,W^\perp.$

3.
Kvadratiska formens matris $\left[\begin{array}{rrr}5&-2\\ -2&5\\ \end{array}\right].$ Egenvärdena är 3 och $7.$ $\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ $P=\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right].$ Den nya kvadratiska formen är $\mathbf{y}^TD\mathbf{y}=3y_1^2+7y_2^2.$ Ellipsens skärningspunkter med
$\,y_1$-axeln, som är en principalaxel, är $(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},0)$ i $y_1y_2-$systemet. Dessa svarar mot $\pm(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})$ i $\,x_1x_2$-systemet. Ellipsens skärningspunkter med den andra principalaxeln, dvs
$\,y_2$-axeln, blir på samma sätt $\,(0,\pm\frac{1}{\sqrt{7}}),$ dvs $\pm(-\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}})$ i $\,x_1x_2$-systemet.

4.
Egenvärdena är 0 och $\,1+h\,$ som är olika för $\,h\ne -1.$ Alltså är $\,A\,$ diagonaliserbar för $\,h\ne -1,$ tom ortogonalt diagonaliserbar för $\,h=1\, $ eftersom $\,A\,$ då är symmetrisk. Om $\,h=-1\,$ är egenvärdet dubbelt och $\dim E(0)=1,$ dvs $\,A\,$ är ej diagonaliserbar för $\,h=-1.$

\begin{displaymath}P=\left[\begin{array}{rr}1&-h\\ 1&1\end{array}\right],\qquad ... ...t[\begin{array}{cc}h+1&0\\ 0&0\end{array}\right],\quad h\ne -1.\end{displaymath}

1.
$\left[\begin{array}{r}1\\ i\end{array}\right]$
2.
$\sigma_1=3,\,\, \sigma_2=1$

Tillbaka till tentamen 7 juni 2002 Tillbaka till Linjär algebra MN1