$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...onen}\\ T. Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman, \\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ 2002-08-13\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng. För ES-programmet gäller sedvanliga betygsgränser.
Skrivtid: 9-14 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,h\,$ är vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right] \mbox{och} \left[\begin{array}{c} h\\ h \end{array}\right]$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{cc}h&2h\\ 0&0 \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ är dimensionen av värderummet av $\,T$ (the range of $\,T$) $\,= 1\,?$

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning (transformation) som definieras av en rotation $\,\pi/4\,$ radianer moturs. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^4\,$ vara en linjär avbildning (transformation) sådan att

$$\,T(x_1,x_2)=(x_1,0,x_2,0).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}h&h\\ 1&1 \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,h\,$ gäller att nollrummet Nul $A\,$ har
dimensionen $\,= 1\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

Om $\,A\,$ är en $\,6\times 8\,$ matris, dvs en matris med $\,6\,$ rader och $\,8\,$ kolonner, vad är då den minsta möjliga dimensionen av nollrummet Nul $A$?

8.

Om $\,A\,$ är en $\,6\times 8\,$ matris, dvs en matris med $\,6\,$ rader och $\,8\,$ kolonner, vad är då den största möjliga rangen av $\,A$?

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}2&-1\\ -6&3 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\left[\begin{array}{c}h\\ 6 \end{array}\right]\,$ och motsvarande egenvärde är 0. Vad är $\,h\,?$

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr} 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&1&1\end{array}\right]\,$ har egenvärdet $\,\lambda=0\,$ av multipliciteten 3. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rrr} 0&h&1\\ 0&1&2\\ 0&0&2\end{array}\right]$ diagonaliserbar?

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{c} 1\\ -2\\ 1 \end{array}\right].$ Bestäm en tredje egenvektor $\,\mathbf{v}_3\,$ till $\,A\,$ så att $\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\,$ blir en bas av egenvektorer för $\,\mathbf{R}^3.$

13.

Låt $\,W\,=\mbox{Span}\left\{\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right]\right\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 6\\ 4\\ 1 \end{array}\right... ...thbf{u_2}=\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right] .$$

Bestäm den ortogonala projektionen av $\,\mathbf{y}\,$ på det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{u_1}\,$ och $\,\mathbf{u_2}.$

15.

$\,\mathbf{P}_1\,$ är rummet av polynom av grad högst ett inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_1\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)$$ (1)

Beräkna $\,<p,q>\,$ då $\,p(t)=1\,$ och $\,q(t)=1+t.$

16.

Vad är normen av polynomet $\,p(t)=1+t,$ dvs $\,\sqrt{<p,p>},$ med avseende på
den inre produkten (1)?

17.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rrr} 0&1&0\\ h&1&1\\ 0&h&2\end{array}\right]\,$ ortogonalt diagonaliserbar?

18.

$$A=\left[\begin{array}{rr}2/\sqrt{5}&-1/\sqrt{5}\\ 1/\sqrt{5}&... ...sqrt{5}&1/\sqrt{5}\\ -1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5} \end{array}\right].$$

Bestäm en bas för egenrummet hörande till egenvärdet 3.

19.

Grafen av ekvationen $\,x_1x_2=1\,$ är en hyperbel. Bestäm minsta avståndet till origo från en punkt på hyperbeln.

20.

Vid variabelbytet $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där

$$P=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[\begin{array}{rr}1&3\\ -3&1 \end{array}\right]$$

transformeras den kvadratiska formen

$$Q(\mathbf{x})=\,x_1^2-6x_1x_2+9x_2^2$$

till en ny kvadratisk form utan blandande termer (cross-product terms). Bestäm den nya kvadratiska formen.

PROBLEM

1.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\ 1&0&1&0\end{array}\right]$ definierar en avbildning $\,T:\mathbf{R}^4\to\mathbf{R}^2\,$ genom $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A\,$ och en bas för nollrummet Nul $A.$ Bestäm även en bas för det delrum av $\,\mathbf{R}^4\,$ som avbildas på värderummet av $\,T.$

2.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (2)

Låt $\,p_0(t)=1$, $\,p_1(t)=t\,$ och $\,p_2(t)=t^2.$ Bestäm den ortogonala projektionen av $\,p_2\,$ på det delrum som spänns av $\,p_0\,$ och $\,p_1.$

3.

En ellips med ekvationen

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}=1$$

innesluter en yta med arean $\,\pi ab.$ Grafen av ekvationen $\,3x_1^2-4x_1x_2+6x_2^2=1\,$ är en ellips. Bestäm arean av denna ellips.

4.

För vilka värden på $\,h\,$ är

$$\,A=\left[\begin{array}{rr}h&h\\ h&h \end{array}\right]$$

ortogonalt diagonaliserbar? Bestäm för varje sådant värde på $\,h\,$ en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att

$$\,A=PDP^{-1}.$$

EXTRA PROBLEM

1.

$\,A= \left[\begin{array}{rr}5&-5\\ 1&1\end{array}\right]\,$ har en egenvektor $\left[\begin{array}{cc}2+i\\ 1\end{array}\right].$ Bestäm en bas av egenvektorer för $\,\mathbf{C}^2.$

2.

Vad är de singulära värdena av matrisen $\,A=\left[\begin{array}{rr}-3&0\\ 0&0\end{array}\right]\,?$

Tillbaka till tentamen 13 augusti 2002

Tillbaka till Linjär algebra MN1