$\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman\\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2002-08-13 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2002\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
För alla $h$

2.
$h\ne 0$

3.
$\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

4.
$\left[\begin{array}{rrrr}1&0\\ 0&0\\ 0&1\\ 0&0\end{array}\right]$

5.
För alla $h$

6.
En skojig bas för nollrummet är $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\... ... 1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

7.
2

8.
6

9.
$h=3$

10.
1

11.
För alla $h$ (Alltid tre olika egenvärden 0, 1, 2)

12.
T ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$

13.
T ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

14.
$\mathbf{y}$

15.
1

16.
1

17.
$h=1$

18.
$\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{5}\\ 2/\sqrt{5}\end{array}\right]$

19.
$\sqrt{2}$

20.
$10y_1^2$

1.
En bas för Col $A$ är tex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ och en bas för Nul $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0... ...0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$ En bas för det delrum av $\,\mathbf{R}^4\,$ som avbildas på värderummet av $\,T\,$ kan väljas som en bas för radrummet, dvs t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right].$

2.
Eftersom $\,<p_0,p_1>=0\,$ ges den ortogonala projektionen av

\begin{displaymath}\frac{<p_2,p_0>}{<p_0,p_0>}p_0+\frac{<p_2,p_1>}{<p_1,p_1>}p_1=\frac{2}{3}.\end{displaymath}

3.
Kvadratiska formens matris $\left[\begin{array}{rrr}3&-2\\ -2&6\\ \end{array}\right].$ Egenvärdena är 7 och 2 och ellipsens ekvation blir i ett nytt $\,ON$-system

\begin{displaymath}7y_1^2+2y_2^2=1.\end{displaymath}

Ellipsens halva principalaxlar har därför längden $\,\frac{1}{\sqrt{7}}\,$ respektive $\,\frac{1}{\sqrt{2}}.$ Ellipsens area blir $\,\frac{\pi}{\sqrt{14}}.$

4.
$\,A\,$ är ortogonalt diagonaliserbar för alla $\,h\, $ eftersom $\,A\,$ är symmetrisk. Egenvärdena är 0 och $\,2h\,$ som är olika för $\,h\ne 0.$ Om $\,h=0\,$ är egenvärdet dubbelt men $\dim E(0)=2$ eftersom $\,A\,$ är diagonaliserbar även för $\,h=0.$ För alla $\,h\, $ kan man välja

\begin{displaymath}P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr}1&-1\\ 1&1\end{arr... ...],\qquad D=\left[\begin{array}{cc}2h&0\\ 0&0\end{array}\right].\end{displaymath}

1.
$\left[\begin{array}{c}2+i\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}2-i\\ 1\end{array}\right]$
2.
$\sigma_1=3,\,\, \sigma_2=0$

Tillbaka till tentamen 13 augusti 2002 Tillbaka till Linjär algebra MN1