$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ska Institutionen}\\ T. Erlandsson, P. Leitz, R. Strand\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ 2003-03-17\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng. För ES-programmet gäller sedvanliga betygsgränser.
Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,h\,$ är de tre vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c} 2\\ 2\\ 2 \end{array}\right] \mbox{ och } \left[\begin{array}{c} 4\\ h\\ h \end{array}\right]$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{ccc}h&2&3\\ 2&4&6 \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^3\to \mathbf{R}^2\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ har värderummet av $\,T$ dimensionen lika med $\, 1\,?$

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning som definieras av en spegling i linjen $\,x_1=x_2\,$ åtföljd av en rotation $\,\pi/4\,$ radianer moturs. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^3\to \mathbf{R}^2\,$ vara en linjär avbildning sådan att

$$\,T(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2,\,x_2+x_3).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&1\\ 1&0&0&h \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,h\,$ har nollrummet Nul $A\,$
dimensionen $\,=2\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}0&1&1\\ 0&1&1\\ 0&1&1 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För vilka värden på $\,c\,$ är de tre polynomen $\,1+t,\,1+t^2\,$ och $\, t+c\,t^2\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ linjärt beroende?

8.

Definiera $\,W=\mbox{Span}\{1+t,\,1-t,\,1+t^2,\,1-t^2,\, t+t^2,\,t-t^2\}\,$ som det delrum av $\,\mathbf{P}_2\,$ som spänns av dessa sex polynom. Vad är dimensionen av $\,W\,?$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&2&3\\ 1&2&3\\ 1&2&3 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\,\left[\begin{array}{r}1\\ 1\\ -1 \end{array}\right].$ Vad är motsvarande egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr} 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&1&1\end{array}\right]\,$ har egenvärdet $\,\lambda=0\,$ av multipliciteten 2. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

För vilka värden på $\,k\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&k\\ 0&k\end{array}\right]$ diagonaliserbar?

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 5&-4&-2\\ -4&5&2\\ -2&2&2 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{r} -2\\ 2\\ 1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right].$ Bestäm en tredje egenvektor $\,\mathbf{v}_3\,$ till $\,A\,$ så att $\,\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\,$ blir en bas av egenvektorer för $\,\mathbf{R}^3.$

13.

Låt $\,W\,=\mbox{Span} \left\{\left[\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right]\right\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 3\\ 4\\ 5\\ 6 \end{array}\r... ...3}=\left[\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 1\\ -1 \end{array}\right] .$$

Bestäm den ortogonala projektionen av $\,\mathbf{y}\,$ på det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{u_1},\mathbf{u_2} \,$ och $\,\mathbf{u_3}.$

15.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (1)

Bestäm den ortogonala projektionen av $\,t^2\,$ på $\, W=\mbox{Span}\{1\}.$

16.

Vad är normen av polynomet $\,p(t)=t^2-1,$ dvs $\,\vert\vert p\vert\vert=\sqrt{<p,p>},$ med avseende på
den inre produkten (1)?

17.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rrr} h&1&0\\ 1&h&1\\ 0&1&h\end{array}\right]\,$ ortogonalt diagonaliserbar?

18.

$$A=\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{5}&2/\sqrt{5}\\ -2/\sqrt{5}&... ...sqrt{5}&-2/\sqrt{5}\\ 2/\sqrt{5}&1/\sqrt{5} \end{array}\right].$$

Bestäm en bas för egenrummet hörande till egenvärdet 3.

19.

Grafen av ekvationen $\,2x_1^2+2x_1x_2=1\,$ är en hyperbel. Bestäm minsta avståndet till origo från en punkt på hyperbeln.

20.

Vid variabelbytet $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där

$$P=\left[\begin{array}{rrr}1/\sqrt{3}&-1/\sqrt{2}&1/\sqrt{6}\\... .../\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}&1/\sqrt{2}&1/\sqrt{6} \end{array}\right]$$

transformeras den kvadratiska formen

$$Q(\mathbf{x})=\,2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$$

till en ny kvadratisk form utan blandande termer (cross-product terms). Bestäm den nya kvadratiska formen.

PROBLEM

1.

Låt $\,T:\mathbf{R}^3\to \mathbf{R}^3\,$ vara en linjär avbildning sådan att

$$T(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2,\,x_2-x_3,\,-x_2+x_3).$$

Bestäm en bas för värderummet och en bas för nollrummet av $T.$

2.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (2)

Låt $\,p_0(t)=1$, $\,p_1(t)=t\,$ och $\,p_2(t)=t^2.$ Bestäm avståndet från $\,p_2\,$ till det delrum som spänns av $\,p_0\,$ och $\,p_1.$

3.

För vilka värden på $\,h\,$ är

$$\,A=\left[\begin{array}{rrr}h&h&h\\ h&h&h\\ h&h&h \end{array}\right]$$

ortogonalt diagonaliserbar? Bestäm för varje sådant värde på $\,h\,$ en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att

$$\,A=PDP^{-1}.$$

4.

En ellipsoid med ekvationen

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}+\frac{x_3^2}{c^2} =1$$

innesluter volymen $\,\frac{4\pi}{3} abc.$ Ekvationen $\,2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_2x_3=1\,$ bestämmer en ellipsoid. Beräkna volymen av denna.

EXTRA PROBLEM

1.

Vad är projektionsmatrisen i homogena koordinater under en perspektiv projektion på $\,x$-axeln med projektionscentrum $\,(0,d)?$

2.

Vad är de singulära värdena av matrisen $\,A=\left[\begin{array}{rr}a&b\end{array}\right]\,?$

Tillbaka till tentamen 17 mars 2003

Tillbaka till Linjär algebra MN1