$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...atiska Institutionen}\\ T Erlandsson, P. Leitz, R. Strand\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2003-03-17 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2003\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

För alla $h$

2.

$h=1$

3.

$\left[\begin{array}{rr}-1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{rrr}1&-1&0\\ 0&1&1\end{array}\right]$

5.

$h\ne 1$

6.

T ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}0\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

7.

$c=-1$

8.

$3$

9.

$0$

10.

$1$

11.

$k\ne 1$

12.

T ex $\left[\begin{array}{r}-1\\ 1\\ -4\end{array}\right]$

13.

T ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$

14.

$\left[\begin{array}{r}5\\ 2\\ 3\\ 6\end{array}\right]$

15.

$2/3$

16.

$1$

17.

För alla $h$

18.

$\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{5}\\ -2/\sqrt{5}\end{array}\right]$

19.

$\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{2}}}$

20.

$2y_1^2-y_2^2-y_3^2$

1.

Avbildningens matris är $A=\left[\begin{array}{rrr}1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&-1&1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrr}1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&0\end{array}\right].$ Värderummet är
Col $A$ och nollrummet är Nul $A$. En bas för $\mbox{Col }A$ är t ex $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}-1\\ 1\\ -1\end{array}\right]\right\}$ och en bas för
Nul $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$

2.

Eftersom $\,<p_0,p_1>=0\,$ ges den ortogonala projektionen $\,\hat p_2\,$ av

$$\frac{<p_2,p_0>}{<p_0,p_0>}p_0+\frac{<p_2,p_1>}{<p_1,p_1>}p_1... ...ert p_2-\hat p_2\vert\vert=\sqrt{<t^2-2/3,t^2-2/3>}=\sqrt{2/3}.$$

3.

$\,A\,$ är ortogonalt diagonaliserbar för alla $\,h\,$ eftersom $\,A\,$ är symmetrisk. Egenvärdena är $\lambda_1=\,3h\,$ och $\,\lambda_2=\lambda_3=0.$ För alla $\,h\,$ kan man välja

$$P=\left[\begin{array}{rrr}1/\sqrt{3}&1/\sqrt{2}&1/\sqrt{6}\\ ... ...eft[\begin{array}{ccc}3h&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right].$$

4.

Kvadratiska formens matris är $\left[\begin{array}{rrr}2&0&0\\ 0&2&1\\ 0&1&2\end{array}\right].$ Egenvärdena är 2, 3 och 1. Ellipsoidens ekvation blir i ett nytt $\,ON$-system $2y_1^2+3y_2^2+y_3^2=1\,$ och halva principalaxlarna har därför längden $\,\frac{1}{\sqrt{2}},\, \,\frac{1}{\sqrt{3}}, \,\,1.$ Ellipsoidens volym blir $\,\frac{4\pi}{3\sqrt{6}}.$

1.

$\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&-1/d&1\end{array}\right]$

2.

$\sigma_1=\sqrt{a^2+b^2},\,\, \sigma_2=0$

Tillbaka till tentamen 17 mars 2003

Tillbaka till Linjär algebra MN1