$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...atiska Institutionen}\\ T Erlandsson, P. Leitz, R. Strand\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2003-06-12 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2003\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

$h=2$

2.

$h\ne 1$

3.

$\left[\begin{array}{rrr}-1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&-1\\ 1&0&0&1\end{array}\right]$

5.

$h=-1$

6.

T ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

7.

$c=0$

8.

$3$

9.

$2$

10.

T ex $\left[\begin{array}{r}0\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

11.

För inga värden på $\,k$

12.

Egenvärdena är $1$ och $-1$

13.

T ex $\left[\begin{array}{r}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right].$

14.

$\left[\begin{array}{r}2\\ 3\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

15.

En ortogonal bas är $1,t$

16.

$1/3$

17.

Enda egenvärdet är $\,0$

18.

Enda egenvärdet är $\,1$

19.

$a\ne 0$ (Ekvationen har ingen geometrisk betydelse för $a=0$)

20.

$9y_1^2+9y_2^2-3y_3^2$

1.

Avbildningens matris är $A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&1\\ 1&0&0&1\end{array}\right].$ Värderummet är $\mbox{Col }A$ och nollrummet är $\mbox{Nul }A$. En bas för Col $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ och en bas för Nul $A$ är t ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0... ...0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right].$ Det ortogonala komplementet till nollrummet är radrummet som spänns av $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

2.

Eftersom $\,<p_1,p_2>=0\,$ ges den ortogonala projektionen $\,\hat p_0\,$ av

$$\frac{<p_0,p_1>}{<p_1,p_1>}p_1+\frac{<p_0,p_2>}{<p_2,p_2>}p_2... ... p_0\vert\vert=\sqrt{<1-5/3t^2,1-5/3t^2>}= \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

3.

Egenvärdena är $\lambda_1=\,1\,$ och $\,\lambda_2=\lambda_3=-1.$ Linjens riktning och en ortogonal bas för planet ortogonalt mot linjen ger efter normering t ex

$$P=\left[\begin{array}{rrr}1/\sqrt{3}&0&-2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt... ...ft[\begin{array}{rrr}1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right].$$

4.

Låt egenrummen vara $E(\lambda_1)=\mbox{Span}\{v_1\},\,E(\lambda_2)=\mbox{Span}\{v_2,v_3\},$ där $\,v_1,v_2,v_3\,$ är en bas då egenvärdena är olika. På samma sätt är en egenvektor $\,v_4\,$ hörande till $\,\lambda_3\,$ ej linjärt beroende av $\,v_1,v_2,v_3\,$ då egenvärdena är olika. Alltså finns en bas av egenvektorer för $\,A\,$ och matrisen är diagonaliserbar.

1.

$\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&-1/d&1\end{array}\right]$

2.

$\sigma=\sqrt{a^2+b^2}$

Tillbaka till tentamen 12 juni 2003

Tillbaka till Linjär algebra MN1