$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...tet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T. Erlandsson\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ 2003-08-12\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges samt 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng. För ES-programmet gäller sedvanliga betygsgränser.
Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,a\,$ är de två vektorerna $\,\left[\begin{array}{c}2 \end{array}\right]\,$ och $\,\left[\begin{array}{c}a \end{array}\right]\,$ linjärt beroende i $\,\mathbf{R}\,?$

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{cc}a&1\\ 2&2 \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ För vilka värden på $\,a\,$ innehåller värderummet av $\,T\,$ vektorn $\,\left[\begin{array}{c}1\\ 0 \end{array}\right]\,?$

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning som definieras av en spegling i linjen $\,x_1=x_2\,$. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^4\,$ vara en linjär avbildning sådan att

$$\,T(x_1,x_2)=(x_1,\,x_2,\,x_1,\,x_2).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}a&1&1\end{array}\right].$ För vilka värden på $\,a\,$ innehåller
nollrummet Nul $A\,$ vektorn $\,\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1 \end{array}\right]\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}0&0&0&1 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,\mathbf{P}_n,\, n=0,1,2,\dots\,$ är rummet av polynom av grad högst $\,n\,$ inklusive nollpolynomet. Låt $\,1+t,\,1-t\,$ vara en bas i $\,\mathbf{P}_1.$ Vad är koordinaterna för polynomet $\,1\,$ med avseende på denna bas?

8.

Definiera $\,W=\mbox{Span}\{t^4,\,t^4+1,\,t^4+t,\,t^4+t^2,\,t^4+t^3\}\,$ som det delrum av $\,\mathbf{P}_4\,$ som spänns av dessa fem polynom. Vad är dimensionen av $\,W\,?$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&1&0\\ 1&1&0\\ 1&1&0 \end{array}\right]$ har ett egenvärde som är 0. Vad är dimensionen för egenrummet hörande till detta egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr} 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\end{array}\right]\,$ har egenvärdet $\,\lambda=0\,$ av multipliciteten 4. Bestäm en bas för egenrummet hörande till detta egenvärde.

11.

För vilka värden på $\,k\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rrr} k&1&1\\ 0&k&1\\ 0&0&k\end{array}\right]$ diagonaliserbar?

12.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning som definieras av en spegling i planet $\,x_1=0\,$. Vilka egenvärden har $\,T\,?$

13.

Låt $\,W\,=\mbox{Span} \left\{\left[\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right]\right\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 3\\ -1\\ 1\\ 13 \end{array}... ..._2}=\left[\begin{array}{r} -4\\ 1\\ 0\\ 3 \end{array}\right] .$$

Bestäm den ortogonala projektionen av $\,\mathbf{y}\,$ på det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{u_1}\,$ och $\,\mathbf{u_2}.$

15.

$\,\mathbf{P}_3\,$ är rummet av polynom av grad högst tre inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_3\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=\int_{-1}^1 p(t)q(t)\,dt$$ (1)

Bestäm en ortogonal bas för det delrum $\,W\,$ av $\,\mathbf{P}_3\,$ som spänns av polynomen $\,p_1(t)=1\,$ och $\,p_2(t)=t^3,$ dvs för $\,W=\mbox{Span}\{1,t^3\}.$

16.

Vad är den ortogonala projektionen av $\,t^3\,$ på $\, W=\mbox{Span}\{t\}\,$ med avseende på
den inre produkten (1)?

17.

Den linjära avbildningen $\,D:\mathbf{P_2}\to\mathbf{P_2}\,$ definieras genom $\,D(a+bt+ct^2)=b+2ct.$ Bestäm en bas för avbildningens nollrum?

18.

$$A=\left[\begin{array}{rr}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{array}\right]$$

där $\,0<\theta<\pi.$ Vilka egenvärden (reella) har matrisen $\,A\,?$

19.

För vilka värden på $\,a\,$ är grafen av ekvationen $\,x_1^2+2ax_1x_2+x_2^2=1\,$ en ellips
(inklusive en cirkel)?

20.

Vid variabelbytet $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där

$$P=\left[\begin{array}{rrr}1/\sqrt{6}&1/\sqrt{3}&1/\sqrt{2}\\ ... ...rt{3}&0\\ 1/\sqrt{6}&1/\sqrt{3}&-1/\sqrt{2} \end{array}\right]$$

transformeras den kvadratiska formen

$$Q(\mathbf{x})=\,7x_1^2+x_2^2+7x_3^2-8x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$$

till en ny kvadratisk form utan blandande termer (cross-product terms). Bestäm den nya kvadratiska formen.

PROBLEM

1.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^4\,$ vara en linjär avbildning sådan att

$$T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,\,x_1+x_2,\,x_1+x_2,\,x_1+x_2)$$

Bestäm en bas för värderummet och en bas för nollrummet av $T.$ Bestäm också en bas för det ortogonala komplementet till nollrummet.

2.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=\int_{-1}^1 p(t)q(t)\,dt$$ (2)

Låt $\,p_0(t)=t^2$, $\,p_1(t)=1\,$ och $\,p_2(t)=t.$ Bestäm avståndet från $\,p_0\,$ till det delrum som spänns av $\,p_1\,$ och $\,p_2.$

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^3\to \mathbf{R}^3\,$ vara den linjära avbildning som definieras av en spegling i planet $\,x_1+x_2+x_3=0\,$. Låt $\,A\,$ vara standardmatrisen av $\,T.$ Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att

$$\,A=PDP^{-1}.$$

4.

Visa att om $\,\mathbf{x}\,$ är en egenvektor till matrisprodukten $\,AB\,$ och $\,B\mathbf{x}\ne \mathbf{0},$ så är $\,B\mathbf{x}\,$ en egenvektor till $\,BA.$

Tillbaka till tentamen 12 augusti 2003

Tillbaka till Linjär algebra MN1