$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ersitet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T. Erlandsson \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2003-08-12 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2003\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

Alla $a$

2.

$a\ne 1$

3.

$\left[\begin{array}{rr}0&1\\ 1&0\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{rr}1&0\\ 0&1\\ 1&0\\ 0&1\end{array}\right]$

5.

$a=-2$

6.

T ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}0\... ...\ 0\\ 0\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

7.

$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

8.

$5$

9.

$2$

10.

T ex $\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

11.

För inga värden på $\,k$

12.

Egenvärdena är $1$ och $-1$

13.

T ex $\left[\begin{array}{r}1\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}0\\ 0\\ 1\\ -1\end{array}\right].$

14.

$\left[\begin{array}{r}-1\\ -5\\ -3\\ 9\end{array}\right]$

15.

En ortogonal bas är $1,t^3$

16.

$\frac{3}{5}t$

17.

T ex det konstanta polynomet $1$

18.

Inga reella egenvärden

19.

$-1<a<1$ ($a=0$ ger en cirkel)

20.

$-3y_1^2+9y_2^2+9y_3^2$

1.

Avbildningens matris är $A=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 1&1\\ 1&1\\ 1&1\end{array}\right].$ Värderummet är $\mbox{Col }A$ och nollrummet är $\mbox{Nul }A$. En bas för Col $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ och en bas för Nul $A$ är t ex $\left[\begin{array}{r}1\\ -1\end{array}\right].$ Det ortogonala komplementet till nollrummet är radrummet som spänns av $\left[\begin{array}{r}1\\ 1\end{array}\right].$

2.

Eftersom $\,<p_1,p_2>=0\,$ ges den ortogonala projektionen $\,\hat p_0\,$ av

$$\frac{<p_0,p_1>}{<p_1,p_1>}p_1+\frac{<p_0,p_2>}{<p_2,p_2>}p_2= \frac{1}{3}1+0\,t=\frac{1}{3}.$$

$\mbox{ Avståndet är }\vert\vert p_0-\hat p_0\vert\vert=\sqrt{<t^2-\frac{1}{3},t^2-\frac{1}{3}>}= \sqrt{\frac{8}{45}}.$

3.

Egenvärdena är $\lambda_1=\,-1\,$ och $\,\lambda_2=\lambda_3=1.$ Normalens riktning och en ortogonal bas för planet ger en ortogonal bas av egenvektorer. Man kan t ex välja (efter normering)

$$P=\left[\begin{array}{rrr}1/\sqrt{3}&1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{6}\\... ...eft[\begin{array}{rrr}-1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right].$$

4.

Om $\,\mathbf{x}\,$ är en egenvektor till matrisprodukten $\,AB\,$ så gäller $\,(AB)\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\,$ där $\,\lambda\,$ är ett reellt tal. Då är $\,BA(B\mathbf{x})= B(AB\mathbf{x})=B\lambda\mathbf{x}=\lambda (B\mathbf{x}).$ Detta innebär att $\,B\mathbf{x}\,$ är egenvektor till $\,BA\,$ om $\,B\mathbf{x}\ne \mathbf{0}\,$ (Nollvektorn är aldrig egenvektor).

Tillbaka till tentamen 12 augusti 2003

Tillbaka till Linjär algebra MN1