$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...{Matematiska Institutionen}\\ T. Erlandsson, J. Granström\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ 2004-03-17\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges samt 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,a\,$ är de tre vektorerna $\,\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3 \end{array}\right],$ $\,\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 6 \end{array}\right],$ $\,\left[\begin{array}{c}a\\ 6\\ 9 \end{array}\right]\,$ linjärt beroende i $\,\mathbf{R^3}\,?$

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{cc}a&0\\ 2&1 \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ För vilka värden på $\,a\,$ innehåller värderummet av $\,T\,$ vektorn $\,\left[\begin{array}{c}1\\ 2 \end{array}\right]\,?$

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning som definieras av en moturs rotation omkring origo vinkeln $\,\pi/2.$ Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^4\,$ vara en linjär avbildning sådan att

$$\,T(x_1,x_2)=(0,\,x_1,\,0,\,x_2).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a\end{array}\right].$ För vilka värden på $\,a\,$ innehåller
nollrummet Nul $A\,$ vektorn $\,\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1 \end{array}\right]\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}1&-1 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,\mathbf{P}_n\,,n=0,1,2,\dots\,$ är rummet av polynom av grad högst $\,n\,$ inklusive nollpolynomet. Definiera $\,W\,$ som det delrum av $\,\mathbf{P}_2\,$ som genereras av mängden $S=\{\,1+2t+t^2,\,1-2t+t^2\}.$ För vilka värden på $\,a\,$ ingår $\,1+at+t^2\,$ i $\,W?$

8.

Definiera $\,W\,$ som det delrum av $\,\mathbf{P}_4\,$ som genereras av mängden

$$\,S=\{1,\,1+t,\,1-t,\,t+t^2,\,1+t+t^2\}.$$

Vad är dimensionen av $\,W\,?$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr}0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{array}\right]$ har ett egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 2. Vad är dimensionen för egenrummet hörande till detta egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr} 1&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1\end{array}\right]\,$ har egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 4. Bestäm en bas för egenrummet hörande till detta egenvärde.

11.

För vilka värden på $\,k\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{ccc} k-1&1&0\\ 0&k&1\\ 0&0&k+1\end{array}\right]$ diagonaliserbar?

12.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning som definieras som projektion på $\,x_1-$axeln. Vilka egenvärden har $\,T\,?$

13.

Definiera $\,W\,$ som det delrum av $\,\mathbf{R}^4\,$ som genereras av mängden $\,\left\{\left[\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right]\right\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$ Basen för $\,W^\perp\,$ behöver här inte väljas ortogonal.

14.

Avståndet från en punkt $\,\mathbf{y}\,$ i $\,\mathbf{R}^n\,$ till ett delrum $\,W\,$ definieras som avståndet från $\,\mathbf{y}\,$ till den närmaste punkten i $\,W.$ Bestäm avståndet från $\,\mathbf{y}\,$ till det delrum $\,W\,$ som genereras av vektorerna $\,\mathbf{u_1},\mathbf{u_2}\,$ där

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 5\\ 1\\ -3\\ 1 \end{array}\... ..._2}=\left[\begin{array}{r} -1\\ 5\\ 1\\ 3 \end{array}\right] .$$

15.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=\int_{-1}^1 p(t)q(t)\,dt$$ (1)

Låt $\,W\,$ vara det delrum av $\,\mathbf{P}_2\,$ som genereras av $\,p_0(t)=1\,$ och $\,p_2(t)=t^2,$ dvs låt $\,W=\mbox{Span}\{1,t^2\}.$ Bestäm en bas för det ortogonala komplementet $\,W^\perp.$

16.

Låt $\,H\,$ vara det delrum av $\,\mathbf{P}_2\,$ som genereras av $\,p_1(t)=t\,$ och $\,p_2(t)=t^2,$ dvs låt $\,H=\mbox{Span}\{t,t^2\}.$ Vad är den ortogonala projektionen av polynomet $\,p_0(t)=1\,$ på $\,H\,$ med avseende på den inre produkten (1)?

17.

$$A=\left[\begin{array}{rrr}2&2&1\\ 1&3&1\\ 1&2&2 \end{array}\r... ...r}1/4&1/2&1/4\\ 1/4&1/2&-3/4\\ 1/4&-1/2&1/4 \end{array}\right].$$

Matrisen $\,A\,$ har tydligen egenvärdena $\,5\,$ och $\,1.$ Bestäm en bas för egenrummet hörande till egenvärdet 1.

18.

$$A=\left[\begin{array}{rr}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{array}\right]$$

där $\,0<\theta<\pi.$ Vilka egenvärden (reella) har matrisen $\,A\,?$

19.

För vilka värden på $\,a\,$ är grafen av ekvationen $\,2x_1x_2+2ax_2^2=1\,$ en hyperbel?

20.

Den linjära avbildningen $\,D:\mathbf{P_2}\to\mathbf{P_2}\,$ som definieras genom

$$\,D(a+bt+ct^2)=b+2ct\,$$

har egenvärdet $\,\lambda=0.$ Vad är multipliciteten av detta egenvärde? Med detta menas multipliciteten av $\,\lambda\,$ som rot till karakteristiska ekvationen av matrisen för $\,D\,$ med avseende på t ex basen $\,\{1,t,t^2\}?$

PROBLEM

1.

$$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ -1&-1&1&1\\ -1&1&1&-1\end{array}\right]$$

Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A\,$ och en bas för nollrummet Nul $A\,$ av matrisen $\,A.$

2.

$\,\mathbf{P}_3\,$ är rummet av polynom av grad högst tre inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_3\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=\int_{-1}^1 p(t)q(t)\,dt$$ (2)

De tre Legendre polynomen $\,p_0(t)=1$, $\,p_1(t)=t\,$ och $\,p_2(t)=3t^2-1\,$ är ortogonala med avseende på denna inre produkt. Bestäm avståndet från $\,p_3(t)=t^3\,$ till det delrum som spänns av $\,p_0,$ $\,p_1\,$ och $\,p_2.$

3.

Egenvärdena av matrisen för den kvadratiska formen

$$\,Q(\mathbf{x})=-2x_1^2-x_2^2+4x_1x_2+4x_2x_3\,$$

kan beräknas till $\,2,$ $\,-1\,$ och $\,-4.$ Grafen av ekvationen $\,Q(\mathbf{x})=1\,$ är därför en två-mantlad hyperboloid. Denna yta skär bara en av sina symmetriaxlar, vilka är de räta linjer genom origo som är parallella med principalaxlarna. Bestäm riktningen i $\,x_1x_2x_3-$systemet av den symmetriaxel som ytan skär.

4.

Antag att $\,T:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^n\,$ är en linjär avbildning sådan att nollrummet $\,N(T)\,$ är samma rum som värderummet $\,V(T),\,$ dvs $N(T)=V(T).$ Visa att om det finns sådana avbildningar så måste $\,n\,$ var ett jämnt tal. Försök finna någon sådan avbildning för t ex $\,n=2\,$ och eventuellt för större jämna $\,n.$ Kan en sådan avbildning vara diagonaliserbar?

Tillbaka till tentamen 17 mars 2004

Tillbaka till Linjär algebra MN1