$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...onen}\\ T. Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman, \\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par ÖVNINGSTENTAMEN 1 \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ VT 2002\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 5 timmar Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,h\,$ är vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0\\ 1 \\ h \end{array}\right]$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&1 \end{array}\right],$ $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ h \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^4\to \mathbf{R}^3\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ ligger $\,\mathbf{y}\,$ i värderummet av $\,T$ (the range of $\,T$)?

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning (transformation) som definieras av en spegling i linjen $\,x_1=x_2\,$ följd av en spegling i $\,x_2$-axeln. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^4\to \mathbf{R}^2\,$ vara en linjär avbildning (transformation) sådan att

$$\,T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_3,-x_2+x_4).$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&-2&1\\ 1&-2&1\\ 1&-2&1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c} 1\\ a\\ b \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,a\,$ och $\,b\,$ tillhör $\,\mathbf{w}\,$ både kolonnrummet Col $A\,$ och nollrummet Nul $A\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&1&0 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&-4&2&-1&6\\ 0&0&0&1&4&-3\\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av nollrummet Nul $A\,?$

8.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrr}2&-1&1&-6&8\\ 1&-2&-4&3&-2\\ -7&8&10&3&-10 \end{array}\right]$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rrrrr}1&-2&-4&3&-2\\ 0&3&9&-12&12\\ 0&0&0&0&0 \end{array}\right].$

Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A.$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}10&-9\\ 4&-2 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\left[\begin{array}{c}3\\ 2 \end{array}\right].$ Vad är motsvarande egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right]\,$ har ett egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 3. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

För vilka värden på $\,h\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&h\\ 0&1\end{array}\right]\,$ diagonaliserbar?

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 0&1&0\\ 0&1&h\\ 0&0&1 \end{array}\right].$ Bestäm $\,h\,$ så att egenrummet hörande till egenvärdet $\,\lambda=1\,$ blir två-dimensionellt.

13.

Låt $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 3\\ 1 \end{array}\right]\,$ och $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right].$ Skriv $\,\mathbf{y}\,$ som summan av en vektor i det linjära höljet Span $\{\mathbf{u}\}$ och en vektor som är ortogonal mot $\,\mathbf{u}.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\righ... ...hbf{v_2}=\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right] .$$

Vilken punkt i det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{v_1}\,$ och $\,\mathbf{v_2}\,$ ligger närmast $\,\mathbf{y}\,?$

15.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (1)

Beräkna $\,<p,q>\,$ då $\,p(t)=1-t^2\,$ och $\,q(t)=1+t^2.$

16.

Bestäm ett polynom i $\,\mathbf{P}_2\,$ som är ortogonalt mot $\,p(t)=1-t^2\,$ med avseende på den inre produkten (1).

17.

$$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 5&-2&4\\ -2&8&2\\ 4&2&5\end{arra... ...athbf{v_2}=\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$$

$\mathbf{v_1}\,$ och $\mathbf{v_2}\,$ är ortogonala egenvektorer till $\,A.$ Komplettera $\mathbf{v_1}\,$ och $\mathbf{v_2}\,$ till en ortogonal bas för $\,\mathbf{R}^3\,$ bestående av egenvektorer till $\,A.$

18.

$\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&1\\ 1&1\end{array}\right]\,$ har egenvärdena $\,\lambda_{1}=0, \,\lambda_{2}=2.$ Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ så att

$$A=P\left[\begin{array}{rr}0&0\\ 0&2\end{array}\right]P^{-1}.$$

19.

Grafen av ekvationen $\,6x_1^2+6x_1x_2+6x_2^2=1\,$ är en ellips. Bestäm största avståndet till origo från en punkt på ellipsen.

20.

Bestäm ett variabelbyte $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där $\,P\,$ är en ortogonal matris, så att den kvadratiska formen $\,x_1x_2\,$ transformeras till en kvadratisk form utan blandande termer (cross-product terms).

PROBLEM

1.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&-2&1&1\\ -1&2&0&1\\ 2&-4&1&0 \end{array}\right]$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rrrr}1&-2&0&-1\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$ Bestäm rangen av matrisen $\,A,$ en bas för kolonnrummet Col $A\,$ samt en bas för nollrummet Nul $A.$

2.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\, \mathbf{v_2}=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right],$ $\mathbf{v_3}=\,\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right].$
Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att $\,A=PDP^{-1}.$

3.

Bevisa att mängden $\,\mathcal{B}=\{1,\, 2t,\, -2+4t^2\},$ de tre första Hermite polynomen, är en bas för $\,\mathbf{P}_2.$ Bestäm även koordinatvektorn för $\,\mathbf{p}=1-4t+8t^2\,$ med avseende på $\,\mathcal{B}.$

Ledning: $\mathbf{P}_2\,$ har standardbasen $\,\{1,\,t,\,t^2\}\,$ så dim $\,\mathbf{P}_2=3.$

4.

För vilka värden på $\,a\,$ är grafen av ekvationen $\,ax_1^2+10x_1x_2+ax_2^2=1\,$ en ellips? Bestäm också ellipsens principalaxlar.

EXTRA PROBLEM

1.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}5&-3\\ 3&5\end{array}\right].$ Finn de komplexa egenvärdena och en bas för varje egenrum i $\,\mathbf{C}^2.$

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 2&2\end{array}\right].$ Finn en singulär värdeuppdelning $\,U\Sigma V^T\,$
(singular value decomposition) av $\,A.$

Ledning: Ett val av $\,U\,$ är $\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr}1&2\\ 2&-1\end{array}\right].$

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Linjär algebra MN1