$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...onen}\\ T. Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman, \\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par ÖVNINGSTENTAMEN 2 \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ VT 2002\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 5 timmar Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka värden på $\,h\,$ är de tre vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c} h \\ h \end{array}\right]$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&1 \end{array}\right],$ $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} h\\ 1\\ h \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^4\to \mathbf{R}^3\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ ligger $\,\mathbf{y}\,$ i värderummet av $\,T$ (the range of $\,T$)?

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning (transformation) som definieras av en spegling i $\,x_2$-axeln följd av en spegling i linjen $\,x_1=x_2.$ Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}^4\to \mathbf{R}\,$ vara en linjär avbildning (transformation) sådan att

$$\,T(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1-x_2+x_3-x_4.$$

Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&-2&1\\ 1&-2&1\\ 1&-2&1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c} h\\ h\\ h \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,h\,$ tillhör $\,\mathbf{w}\,$ både kolonnrummet Col $A\,$ och nollrummet Nul $A\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1\\ 1\\ 0 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av nollrummet Nul $A\,?$

7.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A\,?$

8.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\ 2&-2&2&-1\\ -1&1&5&-4 \end{array}\right]$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&3&-2\\ 0&0&4&-3\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$

Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A.$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&2 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\left[\begin{array}{c}2\\ 1 \end{array}\right].$ Vad är motsvarande egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&1\\ 0&1\end{array}\right]\,$ har ett egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 2. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

$\,A=\left[\begin{array}{rr} 1&1\\ 1&1\end{array}\right]\,$ har en egenvektor $\,\mathbf{v_1}=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right].$ Bestäm ytterligare en egenvektor $\,\mathbf{v_2}\,$ så att $\,\mathbf{v_1}\,$ och $\,\mathbf{v_2}\,$ blir en bas för $\,\mathbf{R}^2.$

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 0&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av egenrummet hörande till egenvärdet $\,\lambda=1\,?$

13.

Låt $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 1\\ h \end{array}\right]\,$ och $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,h\,$ tillhör $\,\mathbf{y}\,$ det ortogonala
komplementet $\,\mathbf{u}^\perp\,$ av $\,\mathbf{u}\,?$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 2 \end{array}\right... ...hbf{v_2}=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right] .$$

Vilken punkt i det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{v_1}\,$ och $\,\mathbf{v_2}\,$ ligger närmast $\,\mathbf{y}\,?$

15.

$\,\mathbf{P}_1\,$ är rummet av polynom av grad högst ett inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_1\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(1)q(1)$$ (1)

Beräkna $\,<p,q>\,$ då $\,p(t)=1\,$ och $\,q(t)=t.$

16.

Vad är normen av $\,p(t)=t,$ dvs $\,\sqrt{<p,p>}\,,$ med avseende på den inre produkten (1)?

17.

Vad är egenvärdena till $\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0\end{array}\right]\,?$

18.

$\,A=\left[\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right]\,$ har egenvärdena $\lambda=\pm 1.$ Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ så att

$$A=P\left[\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right]P^{-1}.$$

19.

Grafen av ekvationen $\,2x_1^2+6x_1x_2+2x_2^2=1\,$ är en hyperbel. Bestäm minsta avståndet till origo från en punkt på hyperbeln.

20.

För vilka värden på $\,a\,$ är den kvadratiska formen $\,x_1^2+2ax_1x_2+x_2^2\,$ positivt definit?

PROBLEM

1.

Matrisen $\,A=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 1&1\\ 1&1\\ 1&1 \end{array}\right]\,$ definierar en linjär avbildning (transformation) $\,T:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ Bestäm $\,n\,$ och $\,m,$ rangen av matrisen $\,A,$ en bas för kolonnrummet Col $A\,$ samt en bas för nollrummet Nul $A.$

2.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&1 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\, \mathbf{v_2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],$ $\mathbf{v_3}=\,\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right].$
Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att $\,A=PDP^{-1}.$

3.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (2)

Bestäm en ortonormerad bas av polynom med avseende på den inre produkten (2) för $\,\mathbf{P}_2.$

4.

För vilka värden på $\,a\,$ är $\,A=\left[\begin{array}{rr}1&a\\ a&1\end{array}\right]\,$ ortogonalt diagonaliserbar? Bestäm för varje sådant $\,a\,$ en ortonormerad bas av egenvektorer för $\,\mathbf{R}^2.$

EXTRA PROBLEM

Se övningstentamen 1

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Linjär algebra MN1