$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...onen}\\ T. Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman, \\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par ÖVNINGSTENTAMEN 3 \\ LINJÄR ALGEBRA MN1\\ VT 2002\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR OCH UPPGIFTER (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges, 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar samt 2 EXTRAPROBLEM (max 1 poäng per problem) till vilka endast svar ska ges.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 5 timmar Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR OCH UPPGIFTER

1.

För vilka två värden på $\,h\,$ är vektorerna $\left[\begin{array}{c} 1\\ h \end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c} h\\ 1 \end{array}\right]\,$ linjärt beroende?

2.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 0&0\\ 0&1 \end{array}\right],$ $\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ h\\ \end{array}\right]\,$ och definiera $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^3\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$

För vilka värden på $\,h\,$ ligger $\,\mathbf{y}\,$ i värderummet av $\,T$ (the range of $\,T$)?

3.

Låt $\,T:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\,$ vara den linjära avbildning (transformation) som definieras av en spegling i linjen $\,x_1=x_2\,$ följd av en rotation $\,\pi/2\,$ radianer moturs. Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

4.

Låt $\,T:\mathbf{R}\to \mathbf{R}^4\,$ vara en linjär avbildning (transformation) sådan att $\,T(x)=(x,0,0,x).$ Vad är standardmatrisen av $\,T\,?$

5.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrr}1&-1\\ 1&-1 \end{array}\right]$ och $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right].$ För vilka värden på $\,a\,$ och $\,b\,$ tillhör $\,\mathbf{w}\,$ både kolonnrummet Col $A\,$ och nollrummet Nul $A\,?$

6.

Låt $\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&1 \end{array}\right].$ Bestäm en bas för nollrummet Nul $A.$

7.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr}1&1&1&1&-1&0&-1&0\\ 0&0&0&0&1&-1&1&-1 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av nollrummet Nul $A\,?$

8.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrrr}1&-2&1&1&0\\ -1&2&0&1&0\\ 2&-4&1&0&0 \end{array}\right]$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rrrrr}1&-2&0&-1&0\\ 0&0&1&2&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array}\right].$

Bestäm en bas för kolonnrummet Col $A.$

9.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}1&2\\ 1&2 \end{array}\right]$ har egenvektorn $\left[\begin{array}{c}1\\ 1 \end{array}\right].$ Vad är motsvarande egenvärde?

10.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right]\,$ har ett egenvärdet $\,\lambda=1\,$ av multipliciteten 3. Vad är dimensionen av egenrummet hörande till detta egenvärde?

11.

$\,A=\left[\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right]\,$ har egenvektorn $\,\mathbf{v}_1=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right].$ Bestäm ytterligare en egenvektor $\,\mathbf{v}_2\,$ så att $\,\mathbf{v}_1\,$ och $\,\mathbf{v}_2\,$ blir en bas för $\,\mathbf{R}^2.$

12.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&0&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right].$ Vad är dimensionen av egenrummet hörande till egenvärdet $\,\lambda=0\,?$

13.

$\,W =\mbox{Span}\left\{\left[\begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array}\right]\right\}\,$ är ett delrum av $\,\mathbf{R}^2.$ Bestäm en bas för $\,W^\perp.$

14.

$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c} 2\\ 0\\ 0\\ 2 \end{array}\r... ...{v_2}=\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right] .$$

Vilken punkt i det delrum $\,W\,$ som spänns av vektorerna $\,\mathbf{v_1}\,$ och $\,\mathbf{v_2}\,$ ligger närmast $\,\mathbf{y}\,?$

15.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (1)

Beräkna $\,<p,q>\,$ då $\,p(t)=t(1-t)\,$ och $\,q(t)=t(1+t).$

16.

Vad är normen av $\,p(t)=t(1-t)\,$ dvs $\,\sqrt{<p,p>}\,$ med avseende på den inre
produkten (1)?

17.

$$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 5&-4&-2\\ -4&5&2\\ -2&2&2\end{ar... ...thbf{v_2}=\left[\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 4 \end{array}\right].$$

$\mathbf{v_1}\,$ och $\mathbf{v_2}\,$ är ortogonala egenvektorer till $\,A\,$ och svarar mot
egenvärdena $\,10\,$ respektive $\,1.$ Vad är det tredje egenvärdet?

18.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&0&1\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{array}\right]\,$ är diagonaliserbar och

$$\,A=\left[\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 1&-1&0\\ 0&0&-1\end{arra... ...ay}{rrr} 1/2&1/2&1/2\\ 1/2&-1/2&1/2\\ 0&0&-1\end{array}\right].$$

Bestäm en bas för egenrummet svarande mot egenvärdet 0.

19.

Arean av ellipsen $\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\,$ är $\,\pi ab.\,\,$ Vad är arean av ellipsen $\,4x_1^2+2x_1x_2+4x_2^2=1\,?$

20.

För vilka värden på $\,a\,$ är den kvadratiska formen $\,ax_1^2+2x_1x_2+ax_2^2\,$ positivt definit ?

PROBLEM

1.

$\,A=\left[\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{array}\right]\,$ definierar en avbildning (transformation) $T:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m\,$ genom $\,T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}.$ Bestäm $\,n\,$ och $\,m\,$, rangen av matrisen $\,A\,$ en bas för kolonnrummet Col $A$ samt en bas för nollrummet Nul $A.$

2.

$\,A=\left[\begin{array}{rrr}5&-2&4\\ -2&8&2\\ 4&2&5 \end{array}\right]$ har egenvektorerna $\mathbf{v_1}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right],\, \mathbf{v_2}=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right],$ $\mathbf{v_3}=\,\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
Bestäm en ortogonal matris $\,P\,$ och en diagonalmatris $\,D\,$ så att $\,A=PDP^{-1}.$

3.

$\,\mathbf{P}_2\,$ är rummet av polynom av grad högst två inklusive nollpolynomet. För $\,p\,$ och $\,q\,$ i $\,\mathbf{P}_2\,$ kan man t ex definiera den inre produkten

$$<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ (2)

Låt

$$\delta_0(t)=\frac{t(t-1)}{2},\,\,\delta_1(t)=(1-t)(1+t),\,\, \delta_2(t)=\frac{t(t+1)}{2}.$$

$\{\delta_{0}(t),\delta_{1}(t),\delta_{2}(t)\}\,$ är en ortonormerad bas för $\,\mathbf{P}_2.$ Låt $\,p(t)\,$ vara ett godtyckligt polynom i $\,\mathbf{P}_2.$ Beräkna koordinaterna för $\,p(t)\,$ med avseende på basen $\{\delta_{0}(t),\delta_{1}(t),\delta_{2}(t)\}.$

4.

Bestäm ett variabelbyte $\,\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ där $\,P\,$ är en ortogonal matris, så att den kvadratiska formen $\,3x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2\,$ transformeras till en kvadratisk form utan blandade termer (cross-product terms). Bestäm koordinaterna för de punkter på kurvan
$\,3x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2=1\,$ som ligger närmast origo.

EXTRA PROBLEM

Se övningstentamen 1

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Linjär algebra MN1