$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman\\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} ÖVNINGSTENTAMEN 1 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2002\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

$h=0$

2.

Alla $h$

3.

$\left[\begin{array}{rr}0&-1\\ 1&0\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\ 0&-1&0&1\end{array}\right]$

5.

$a=b=1$

6.

En bas är t ex $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

7.

4

8.

En bas är t ex $\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -7\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 8\end{array}\right]\right\}$

9.

4

10.

1

11.

$h=0$

12.

$h=0$

13.

$\mathbf{y}= \left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$

14.

$\left[\begin{array}{c}2/3\\ -2/3\\ 4/3\end{array}\right]$

15.

1

16.

$t$ och $t^2$ och alla linjärkombinationer av $t$ och $t^2$ är ortogonala mot $1-t^2$

17.

Komplettera med t ex $\mathbf{v_3}=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right]$

18.

$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr}1&1\\ -1&1\end{array}\right]$

19.

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

20.

T ex $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 1&-1\end{array}\right]$

1.

rank $A=2,$ en bas för Col $A$ är tex $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ och en bas för Nul $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right].$

2.

Beräkning ger $A\mathbf{v_1}=3\mathbf{v_1},$ $A\mathbf{v_2}=0\mathbf{v_2},$ $A\mathbf{v_1}=0\mathbf{v_3}.$ $A\,$ har alltså ett egenvärde $\lambda=3\,$ av multiplicitet 1 och ett egenvärde $\lambda=0$ av multiplicitet 2. $\mathbf{v_2}$ och $\mathbf{v_3}$ är inte ortogonala. En vektor i egenrummet $E(0)$ som är ortogonal mot t ex $\mathbf{v_2}$ kan man få genom vektorprodukten $\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}= \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right].$ $P=\left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt... ...c{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right],$ $D=\left[\begin{array}{rrr}3&0& 0 \\ 0&0&0 \\ 0 &0&0\end{array}\right].$ Inversen $\,P^{-1}=P^T.$

3.

Relationen $c_11+c_22t+c_3(-2+4t^2)=0$ ger direkt att $c_1=c_2=c_3=0$ eftersom $1,t,t^2$ är en bas så Hermitepolynomen är linjärt oberoende och alltså en bas eftersom dim $\mathbf{P}_2=3.$ Koordinaterna för $\mathbf{p}=1-4t+8t^2$ med avseende på $\mathcal{B}$ uppfyller $c_11+c_22t+c_3(-2+4t^2)=1-4t+8t^2$ som ger $c_1 =5, c_2=-2, c_3=2$ så $[\mathbf{p}]_{\mathcal{B}}= \left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 2\end{array}\right].$

4.

Egenvärdena till den kvadratiska formens matris $\left[\begin{array}{rrr}a&5\\ 5&a\\ \end{array}\right]$ är $\lambda=a\pm 5$ så grafen är en ellips då $a>5.$ Principalaxlarna är egenvektorerna till matrisen, dvs t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right].$

1.

$5\pm 3i.$ $\left[\begin{array}{c}\pm i\\ 1\end{array}\right].$ 2. $U= \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr}1&2\\ 2&-1\end{array}\right],$ $V= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 1&-1\end{array}\right],$ $\Sigma= \left[\begin{array}{rr}\sqrt{10}&0\\ 0&0\end{array}\right].$

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Linjär algebra MN1