$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman\\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} ÖVNINGSTENTAMEN 2 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2002\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

Alla värden på $h$

2.

Alla värden på $h$

3.

$\left[\begin{array}{rr}0&1\\ -1&0\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&1&-1\end{array}\right]$

5.

Alla värden på $h$

6.

dim Nul $A=0$ ($A$ definierar en avbildning $T:\mathbf{R}\to\mathbf{R}^3$)

7.

En bas är t ex $\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$

8.

En bas är t ex $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right]\right\}$

9.

0

10.

1

11.

$\mathbf{v}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$ t ex

12.

1

13.

$h=1$

14.

$\mathbf{v}_1$

15.

0

16.

$\sqrt{2}$

17.

1 och 0

18.

$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr}1&-1\\ 1&1 \end{array}\right]$

19.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

20

$-1<a<1$ (Egenvärdena $\lambda=1\pm a$ skall båda vara positiva)

1.

$\,A=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 1&1\\ 1&1\\ 1&1 \end{array}\right]\,$ är radekvivalent med $\,B=\left[\begin{array}{rr}1&1\\ 0&0\\ 0&0\\ 0&0 \end{array}\right].$ $\,n=2\,$ och $\,m=4,$ rank $A=1,$
en bas för Col $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ och en bas för Nul $A$ är t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right].$

2.

Beräkning ger $A\mathbf{v_1}=2\mathbf{v_1},$ $A\mathbf{v_2}=1\mathbf{v_2},$ $A\mathbf{v_3}=0\mathbf{v_3}.$ $A\,$ har alltså de olika egenvärdena $\lambda_1=2,$ $\lambda_2=1$ och $\lambda_3=0.$ Vi ser att $\mathbf{v_1},$ $\mathbf{v_2}$ och $\mathbf{v_3}$ är ortogonala som de måste vara. $P=\left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{2}}&0& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&1&0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &0&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],$ $D=\left[\begin{array}{rrr}2&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 &0&0\end{array}\right].$ Inversen $\,P^{-1}=P^T.$

3.

Standardbasen för $\,\mathbf{P}_2\,$ är $1,t,t^2.$ Vi ser direkt att exempelvis är $\,t\,$ och $\,t^2\,$ ortogonala. Då kan vi lätt beräkna den ortogonala projektionen $\hat{1}\,$ av $\,1\,$ på det delrum som spänns av $\,t\,$ och $\,t^2.$

$$\hat{1}=\frac{<1,t>}{<t,t>}t+\frac{<1,t^2>}{<t^2,t^2>}t^2=t^2.$$

Alltså är $1-\hat{1}=1-t^2\,$ ortogonal mot $\,t\,$ och $\,t^2.$ Eftersom dessa tre polynom är ortogonala är de en bas för $\,\mathbf{P}_2.$ En ortonormerad bas är $\,1-t^2, \,\frac{1}{\sqrt{2}}t,\, \frac{1}{\sqrt{2}}t^2.$

4.

Eftersom matrisen är symmetrisk för alla $\,a\,$ är den ortogonalt diagonaliserbar för alla $\,a.$ Man ser direkt att $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right]$ är en egenvektor som svarar mot egenvärdet $\,\lambda_1=1+a\,$ och att $\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\end{array}\right]$ är en egenvektor som svara mot $\,\lambda_1=1-a.$ En ortonormerad bas av egenvektorer för alla $\,a\,$ är alltså $\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr}1&-1\\ 1&1\end{array}\right].$

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Linjär algebra MN1