$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, E. Darpö, A. Neuman\\ D. Preve\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} ÖVNINGSTENTAMEN 3 \\ Linjär algebra MN1\\ VT 2002\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

$h=\pm 1\quad$ Sätt $\left[\begin{array}{c}1\\ h\end{array}\right]= k\left[\begin{array}{c}h\\ 1\end{array}\right].$ Detta ger $\,\left\{\begin{array}{lll}1=kh\\ h=k\end{array}\right.,$ dvs $\,1=h^2.$

2.

Alla $h$

3.

$\left[\begin{array}{rr}-1&0\\ 0&1\end{array}\right]$

4.

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

5.

Alla värden på $\,a\,$ och $\,b\,$ för vilka $a=b$

6.

En bas är t ex $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0... ... 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

7.

6

8.

En bas är t ex $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

9.

3

10.

2

11.

T ex $\mathbf{v}_2 =\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$

12.

1

13.

T ex $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

14.

$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

15.

0

16.

2

17.

$1\quad$ Bestäm först en tredje egenvektor ortogonal mot $\mathbf{v_1}$ och $\mathbf{v_2},$ t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

18.

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$ Tredje kolonnen i $\,P.$

19.

$\pi\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{\sqrt{3}}$

20.

$a>1$

1.

$n=4,\,m=2,$ rank $A=1,$ en bas för Col $A$ är tex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ och en skojig bas för Nul $A$ är
t ex $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c... ...\ -1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$ som till och med är ortogonal.

2.

Beräkning ger $A\mathbf{v_1}=0\mathbf{v_1},$ $A\mathbf{v_2}=9\mathbf{v_2},$ $A\mathbf{v_3}=9\mathbf{v_3}.$ $A\,$ har alltså ett egenvärde $\lambda=0\,$ av multiplicitet 1 och ett egenvärde $\lambda=9$ av multiplicitet 2. $\mathbf{v_2}$ och $\mathbf{v_3}$ är inte ortogonala. En vektor i egenrummet $E(9)$ som är ortogonal mot t ex $\mathbf{v_3}$ kan man få genom vektorprodukten $\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_3}= \left[\begin{array}{c}1\\ -4\\ -1\end{array}\right].$ $P=\left[\begin{array}{rrr}2/3&\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{18}} \\ 1/3&0... ...\sqrt{18}} \\ -2/3 &\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{18}}\end{array}\right],$ $D=\left[\begin{array}{rrr}0&0& 0 \\ 0&9&0 \\ 0 &0&9\end{array}\right].$ Inversen $\,P^{-1}=P^T.$

3.

Eftersom $\,\delta_{0},\,\delta_{1},\, \delta_{2}$ är en ortonormerad bas ges koordinaterna av
$<p(t),\delta_{k}(t)>=p(a_{k})$ där $a_{0}=-1,\,a_{1}=0,\,a_{2}=1.$

4.

Kvadratiska formens matris $\left[\begin{array}{rrr}3&1\\ 1&3\\ \end{array}\right].$ Egenvärdena är 4 och 2. $\mathbf{x}=P\mathbf{y},$ $P=\left[\begin{array}{rr}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{array}\right].$ Den nya kvadratiska formen är $\mathbf{y}^TD\mathbf{y}=4y_1^2+2y_2^2.$ De punkter på ellipsen $4y_1^2+2y_2^2=1$ som ligger närmast origo är $(\pm\frac{1}{2},0)$ i $y_1y_2-$systemet. Dessa svarar mot $P\left[\begin{array}{c}\pm 1/2\\ 0\end{array}\right]$ dvs $(\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}})$ och $(-\frac{1}{2\sqrt{2}},-\frac{1}{2\sqrt{2}})$ i $\,x_1x_2$-systemet.

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Linjär algebra MN1