$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...rlandsson, L-Å Lindahl, \\ B Ivarsson, Y Ameur, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2000-12-14\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx\,$?

2.

Vad är integralen $\int_0^1\frac{1}{x^{1/3}}\,dx\,$?

3.

Vad är integralen $\int_1^{e^2}\frac{1}{x} \,dx\,$?

4.

Vad är integralen $\int_0^\infty x\,e^{-2x^2} \,dx\,$?

5.

Vad är integralen $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx\,$?

6.

Vad är integralen $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2} \,dx\,$?

7.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''= \cos x,\quad y(0)=y'(0)=0\,$?

8.

Vad är lösningarna till differentialekvationen $\,y\,dy=\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\,$?

9.

Vad är lösningarna till differentialekvationen $y'+\frac{2}{x}\,y =\frac{1}{x^2}\,$?

10.

Vad är lösningarna till differentialekvationen $y''+2y'+y=x\,$?

11.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{-2x}}{x}\,$?

12.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\,$?

13.

$y=\frac{\sin x}{x},\,x\ne 0\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

14.

Vad är det minsta värdet av $x^2\ln x$ på intervallet $0< x<\infty \,$?

15.

Vad är det största värdet av $\frac{1}{2+x}$ på intervallet $-1\le x \le 1\,$?

16.

För vilka värden på $\,a\,$ konvergerar serien $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{1}{n^a}\,$?

17.

Vad är integralen $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin \vert x\vert\,dx\,$?

18.

Vilka är lösningarna till differentialekvationen $\frac{dy}{dx}=y\frac{1}{x^2}\,$?

19.

Vad är summan av serien $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(\frac{1}{3})^n\,$?

20.

Vilka är asymptoterna till $y=x^2e^{-\vert x\vert}\,$?

PROBLEM

1.

I triangeln $\,ABC\,$ är $\,A=(0,0)\,$ och vinkeln vid $\,B=(x,0)\,$ är rät.

$\,C\,$ ligger på kurvan

$$y=\left\{\begin{array}{lll}&\frac{2}{x}, &0<x\le 1\\ &4-2\sqrt{x},& 1<x\le 4\end{array}\right.$$

Bestäm triangelns maximala area då $\,0<x\le 4.$ Motivera noggrant.

2.

Skissera kurvan

$$y=\frac{\vert x\vert}{1-x}.$$

Bestäm speciellt definitionsmängden samt eventuella asymptoter och lokala extrempunkter.

3.

Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då kurvan

$$y=\ln x, \,\, 0<x\le 1$$

roterar kring $\,y$-axeln.

4.

Bevisa att om

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}&x^2\sin\frac{1}{x}, &x\ne 0\\ &0,& x=0\end{array}\right.$$

så är $\,f'(0)=0.$ Visa också att $\,f'(x)\,$ inte är kontinuerlig i $\,x=0.$

Trigonometriska formler

$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\hphantom{\cos2x}=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...{{\alpha}({\alpha}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \end{array}$$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1