$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...rlandsson, L-Å Lindahl, \\ B Ivarsson, Y Ameur, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2001-01-17\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 08.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos 2x\,dx\,$?

2.

Vad är integralen $\int_0^1\frac{1}{x^{2/3}}\,dx\,$?

3.

Vad är integralen $\int_1^{\sqrt{e}}\frac{1}{x} \,dx\,$?

4.

Vad är integralen $\int_0^\infty \,e^{-2x} \,dx\,$?

5.

Vad är integralen $\int_0^\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx\,$?

6.

Vad är integralen $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \,dx\,$?

7.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''= 1,\quad y(0)=y'(0)=1\,$?

8.

Vad är lösningarna till differentialekvationen $\,\frac{1}{y}\,dy=\sqrt{x}\,dx\,$?

9.

Vad är lösningarna till differentialekvationen $y'-\frac{2}{x}\,y =x^2\,$?

10.

Vad är lösningarna till differentialekvationen $y'+y=e^{-x}\,$?

11.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\,$?

12.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{1+x}-1}\,$?

13.

Kurvan $y=\sin \frac{1}{x},\,x\ne 0\,$ har precis en asymptot. Vilken är denna?

V.G.V!

14.

Vad är det största värdet av $x^2e^{-x}$ på intervallet $0< x<\infty \,$?

15.

Vad är det största värdet av $\frac{1}{x-1}$ på intervallet $2\le x \le 3\,$?

16.

Är serien $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\frac{1}{n}\,$ konvergent?

17.

Vad är integralen $\int_{-1}^{1} e^{-\vert x\vert}\,dx\,$?

18.

Vad är den lösning till differentialekvationen $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}x^2\,$ för vilken $\,y(0)=1\,$?

19.

Vad är summan av den oändliga serien $1-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2-(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{3})^4-(\frac{1}{3})^5+(\frac{1}{3})^6+\cdots\,$?

20.

Vilka är asymptoterna till $y=x^2e^{-\vert x\vert}\,$?

PROBLEM

1.

Bestäm största värdet av funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}&1\,, &0\le x< 1\\ &\frac{1}{8}(x^2-6x+13)\,,& 1\le x\le 4\end{array}\right.$$

då $\,0\le x\le 4.$ Motivera noggrant.

2.

Skissera kurvan

$$y=\frac{\sqrt{x}}{1-x}.$$

Bestäm speciellt definitionsmängden, eventuella lokala extrempunkter, asymptoter och inflexionspunkter.

Ledning: $y'=\frac{x^{1/2}+x^{-1/2}}{2(1-x)^2},$ $y''=\frac{3x^{1/2}+6x^{-1/2}-x^{-3/2}}{4(1-x)^3}$

3.

Då kurvan

$$y=\ln (1+ \frac{1}{x}), \,\, 0<x\le 1\,,$$

roterar kring $\,y$-axeln genereras en rotationskropp vars volym är

$$2\pi\int_0^1 x\ln (1+\frac{1}{x})\,dx.$$

Skissera kurvan och beskriv den rotationskropp som har volymen lika med integralen ovan. Beräkna också volymen.

4.

Bevisa att om

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}&e^{-1/x^2}, &x\ne 0\\ &0\,,& x=0\end{array}\right.$$

så är $\,f'(0)=f''(0)=0.$ Skissera också kurvan och ange särskilt dess asymptoter och inflexionspunkter.

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\hphantom{\cos2x}=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...{{\alpha}({\alpha}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \end{array}$$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1