$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ionen}\\ T Erlandsson, H Avelin\\ A Pelander, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2002-12-13\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 08.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sin(x+\frac{\pi}{4})\,dx\,$?

2.

Vad är integralen $\int_{-1/2}^{1/2}\frac{1}{1+(x+\frac{1}{2})^2}\,dx\,?$

3.

Vad är integralen $\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\,?$

4.

Vad är integralen $\int_{-1/2}^{1/2}\frac{1}{1+x}\,dx\,$ uttryckt som $\,\ln a, \,\,a \in \mathbf{R}\,?$

5.

Vad är integralen $\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan x\,dx\,$?

6.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''=0, \quad y'(0)=y(0)=0\,$?

7.

Vad är lösningen på formen $y=f(x)$ till differentialekvationen $y'=e^{y},\quad y(0)=0\,$?

8.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y'+y=e^{-x} ,\quad y(0)=0\,$?

9.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''-y=1,\quad y(0)=y'(0)=0\,$?

10.

Vad är lösningen på formen $y^2=f(x)$ till differentialekvationen

$$\,2\,y'y=\frac{1+y^2}{1+x},\quad y(0)=0\,?$$

11.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{-1}x}{x}\,$?

12.

Vad är $\lim_{x\to \infty}x((1+\frac{1}{x})^{3/2}-1)\,$?

13.

Vad är $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}\,$?

V.G.V!

14.

$y=\frac{\tan^{-1}x}{x}\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

15.

$y=\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{1+x}\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

16.

Vad är summan av serien $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(\frac{1}{2})^{2n}=1-(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^6+\dots \,$?

17.

Med kvottestet kan man bestämma att potensserien $\,\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\,$ har konvergensradien lika med 1. För vilka värden på $\,x\,$ konvergerar serien?

18.

$\,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\,$ är Maclaurinserien av funktionen $\frac{1}{1-x},\,\,\vert x\vert<1.$ Vad är $\,a_n\,?$

19.

Summan av den alternerande serien

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{2n+1}= 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+ \frac{1}{9}-\dots$$

kan beräknas med hjälp av Maclaurinserien av en välkänd funktion. Vad är seriens summa?

20.

Maclaurinserien av en viss funktion $\,f(x)\,$ börjar med $\,1-\frac{1}{2}x^2+ \dots .$ Vad är ekvationen för tangenten till funktionen i den punkt på kurvan där $\,x=0\,?$

PROBLEM

1.

Skissera kurvan

$$y=\frac{(x-1)^2}{x}=x-2+\frac{1}{x}.$$

Bestäm definitionsmängden, eventuella lokala extrempunkter, vertikala, horisontella och sneda asymptoter samt inflexionspunkter.

2.

Då kurvan

$$f(x)=xe^{-x},\,\, x\ge 0\,,$$

roterar kring $x$-axeln genereras en rotationskropp vars volym är

$$\pi\int_0^\infty (f(x))^2\,dx.$$

Skissera kurvan och beskriv den rotationskropp som har volymen lika med integralen ovan. Beräkna också volymen.

3.

Skissera kurvan

$$f(x)=x^2\ln \frac{1}{x},\quad 0 < x \le 1.$$

Ange särskilt eventuella extremvärden och inflexionspunkter.

4.

Bevisa att om

$$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}&x\,e^{-1/x^2},&x\ne 0\\ &0,&x=0 \end{array}\right.$$

så är $\,f'(0)=f''(0)=0.$ Skissera också kurvan och ange särskilt dess asymptoter och inflexionspunkter.

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin^2x+\cos^2x=1$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...a}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \qquad (-1<x<1) \end{array}$$

Till svar och anvisningar Tillbaka till Analys MN1