$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ionen}\\ T Erlandsson, H Avelin\\ A Pelander, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2003-01-16\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{0}^{1}\cos(\pi (x-1))\,dx\,$?

2.

Vad är integralen $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+(x-1)^2}\,dx\,?$

3.

Vad är integralen $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}}\,dx\,?$

4.

Vad är integralen $\int_{0}^{1}\frac{1}{x-2}\,dx \,?$

5.

Vad är integralen $\int_{0}^{2}\tan (x-1)\,dx\,$?

6.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''=1, \quad y'(0)=y(0)=1\,$?

7.

Vad är lösningen på formen $y=f(x)$ till differentialekvationen $y'\,e^{y}=1,\quad y(0)=1\,$?

8.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y'-y=e^{x} ,\quad y(0)=1\,$?

9.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''+y=1,\quad y(0)=y'(0)=1\,$?

10.

Vad är lösningen på formen $\,y=f(x)\,$ till differentialekvationen

$$y\,y'=x\frac{1+y^2}{1+x^2},\quad y(0)=1\,?$$

11.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{\tan^{-1}x}{x}\,$?

12.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x^2)^{3/2}-1}{x^2}\,$?

13.

Vad är $\lim_{x\to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{x^2}\,$?

V.G.V!

14.

$y=\frac{\sin^{-1}x}{x^2}\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

15.

$y=\frac{\ln(1-\sqrt{x})}{1+x}\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

16.

Vad är summan av serien $\sum_{n=0}^\infty e^{-n} \,$?

17.

Med kvottestet kan man bestämma att potensserien $\,\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\,$ har konvergensradien lika med 1. För vilka värden på $\,x\,$ konvergerar serien?

18.

$\,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\,$ är Maclaurinserien av funktionen $\frac{1}{\sqrt{1+x}},\,\,\vert x\vert<1.$ Vad är $\,a_1\,?$

19.

Med kvottestet kan man bestämma att potensserien $\,\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\,$ har konvergensradien lika med 1. Vad är konvergensradien för potensserien $\,\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n2^n}\,?$

20.

Maclaurinserien av en viss funktion $\,f(x)\,$ börjar med $\,\frac{1}{2}x^2+ \dots .$ Vad är ekvationen för tangenten till funktionen i den punkt på kurvan där $\,x=0\,?$

PROBLEM

1.

Skissera kurvan

$$y=\frac{x}{(x-1)^2}.$$

Bestäm definitionsmängden, eventuella lokala extrempunkter, asymptoter och inflexionspunkter.

Ledning: $y'=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{2x}{(x-1)^3}$ $y''=-\frac{4}{(x-1)^3}+\frac{6x}{(x-1)^4}$

2.

Då kurvan

$$f(x)=\ln\frac{1}{x},\,\, 0<x\le 1\,,$$

roterar kring $y$-axeln genereras en rotationskropp vars volym är

$$2\pi\int_0^1 x\,f(x)\,dx.$$

Skissera kurvan och beskriv den rotationskropp som har volymen lika med integralen ovan. Beräkna också volymen.

3.

Bestäm det största värdet av funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}&x\ln^2 x,&0<x\le 1,\\ &\frac{\ln^2 x}{x}, &x>1 \end{array}\right.$$

Motivera noggrant.

4.

Bevisa att om

$$f(x)=\left\{\begin{array}{llll}&\,e^{-1/\vert x\vert},&x\ne 0\\ &0,&x=0 \end{array}\right.$$

så är $\,f'(0)=f''(0)=0.$ Skissera också kurvan och ange särskilt dess asymptoter och inflexionspunkter.

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin^2x+\cos^2x=1$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...a}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \qquad (-1<x<1) \end{array}$$

Till svar och anvisningar Tillbaka till Analys MN1