$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T Erlandsson\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN DEL I\\ ANALYS MN1\\ 2004-01-15\end{flushright}}$

Tentamen Del I består av 15 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 2 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
Tentamen Del II består av 3 problem. Se vidare instruktionerna till Del II.
För godkänt krävs totalt 18 poäng. För väl godkänt totalt 28 poäng.
Skrivtid: 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,?$

2.

Vad är integralen $\int_{0}^{\pi/2}x\cos x\,dx \,?$

3.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{\cos 2x - 1}{x^2}\,$?

4.

Vad är $\lim_{x\to 0+}\frac{\cos^2\sqrt{x}-1}{x}\,$?

5.

Vilken är asymptoten till kurvan $y=e^{-1/\vert x\vert}\,$?

6.

Vilka är lösningarna till differentialekvationen $y''=\cos x \,?$

7.

Vilka är lösningarna till differentialekvationen $y''-y=0\,$?

8.

Vilka är lösningarna till differentialekvationen $y''-y=1\,$?

9.

Vilka är lösningarna till differentialekvationen $y'+2xy=2x\,$?

10.

Vilka är lösningarna på formen $\,y=f(x)\,$ till differentialekvationen $xy'=1+y\,?$

V.G.V!

11.

Vad är summan av serien $\sum_{n=0}^\infty e^{-2n} \,$?

12.

Med kvottestet kan man bestämma att potensserien $\,\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^{3/4}}\,$ har konvergensradien lika med 1. För vilka värden på $\,x\,$ konvergerar serien?

13.

$\,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\,$ är Maclaurinserien av funktionen $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\,\,\vert x\vert<1.$ Vad är $\,a_2\,?$

14.

Vad är konvergensradien för potensserien $\,\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n\,?$

15.

Maclaurinserien av en viss funktion $\,f(x)\,$ börjar med $\,x+\frac{1}{6}x^3+ \dots .$ Vad är $\,f''(0)\,?$

PROBLEM

1.

Skissera kurvan

$$y=\frac{xe^{-x^2}}{2-x}.$$

Bestäm definitionsmängden, asymptoterna samt $\,x$-koordinaterna för de lokala extrempunkterna.

Ledning: $y'= \frac{2(x-1)(x^2-x-1)}{(2-x)^2}e^{-x^2}$

2.

Då kurvan

$$f(x)=-x\ln x,\,\, 0<x\le 1\,,$$

roterar kring $\,x$-axeln genereras en rotationskropp vars volym är

$$V=\pi\int_0^1 (f(x))^2\,dx.$$

Skissera kurvan och beräkna rotationskroppens volym.

$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...tematiska Institutionen}\\ H Avelin, A Pelander, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par Tentamen del II \\ ANALYS MN1\\ 2004-01-15\end{flushright}}$

Problemen är numrerade 4,5,6 och är värda 5 poäng var. På varje problem är du garanterad minst den poäng du skrivit på miniduggan med samma nummer. Din poäng på problem $x$ , $4\leq x \leq 6$ blir max(poäng på minidugga $x$, poäng på uppgift $x$).

4.

På denna uppgift är du redan garanterad minst den poäng du skrivit på minidugga 4 (Integraler).

Bevisa att integralen

$$\int_0^\infty \frac{e^x}{e^{2x}+1}\,dx$$

är konvergent och bestäm dess värde.

5.

På denna uppgift är du redan garanterad minst den poäng du skrivit på minidugga 5 (Serier).

a)

Visa att $\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n^p}$ är divergent för $p\le 1$.

(2p)

b)

Visa att $\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n^p}$ är konvergent för $p>1$.

(3p)

6.

På denna uppgift är du redan garanterad minst den poäng du skrivit på minidugga 6 (Differentialekvationer).

Lös differentialekvationen $\qquad xy'=1+x-y-xy$

-Lycka till!!!-

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin^2x+\cos^2x=1$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...a}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \qquad (-1<x<1) \end{array}$$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1