$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ndsson, Lars-Åke Lindahl \\ Björn Ivarsson, Mattias Palmer\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} Övningstentamen 1\\ Analys MN1\\ 1999-12-17 \end{flushright}}$

Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Skrivtid: .
Maximal poäng på varje problem är 5. För godkänt krävs 18 poäng och för väl godkänt 28 poäng.

1.

Beräkna

$$\lim_{x\to 0}\frac{\left(\cos(x^2)-1\right)\ln(1-x)}{3x-\sin 3x}\,.$$

2.

Bestäm största möjliga arean för triangeln $\,ABC,$ rätvinklig vid $\,B,$ om $\,A=(0,0),$
$\,C\,$ ligger på parabeln $\,y=x(2-x),$ $\,B=(x,0)\,$ ligger på $\,x$-axeln och $\,0<x<2.$

3.

Beräkna integralerna

$$a) \quad\int_0^\infty \frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx \qquad\qquad\qquad b)\quad \int_1^e \ln x^2\,dx.$$

4.

Bestäm den lösning till differentialekvationen

$$y''+2y'+5y=\cos x\,$$

för vilken $\,y(0)=0,\,$ $\,y'(0)=1.$

5.

Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då kurvan

$$y=\sqrt{x}\, e^{x^2}, \,\, 0\le x \le 1,$$

roterar kring $\,x$-axeln.

6.

Skissera kurvan

$$y=f(x)=\sqrt{\frac{x^2+1}{x-1}}\,.$$

Bestäm definitionsområdet, asymptoter samt lokala extrempunkter.

7.

Bevisa att serien

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}(\sin\frac{1}{n})$$

är konvergent för $\,a>0.$ Motivera noggrant.

8.

Bestäm konstanterna $\,a\,$ och $\,b\,$ så att den funktion $\,f(x),$ som definieras av

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} &\frac{\ln(1+2x)}{x}, &x>0\\ &ax+b,&x\le 0 \end{array}\right.$$

blir kontinuerlig och deriverbar i $\,x=0.$

Till svar

Till svar och anvisningar

Tillbaka till övningstentamina

Tillbaka till Analys MN1