|
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Koponen |
LOGIK
av Gregor Reich (c. 1467 - 1525). Några detaljer: haren betecknas 'pblenia' (problem), hundarna betecknas
'veritas' (sanning) och 'falsitas' (falskhet); och strax framför träden har vi ordet 'insolubilia' ("olösbarheter", ungefär).
Ämnet logik, som har utmynnat från frågan vad en giltig slutsats är för något, har historiska traditioner åtminstone i det antika Grekland, Indien, Kina och den arabiska kulturen.
Logiken i sin moderna tappning började utvecklas kring sekelskiftet mellan 1800- och 1900-tal. En starkt drivkraft var strävan att försöka övertyga sig om att grundläggande matematiska teorier är motsägelsefria, genom att formalisera matematiska utsagor och resonemang, vilket ledde till formella språk och bevis. Detta var angeläget då det hade visat sig att ett alltför generellt användande av mängdbegreppet och dess konstruktioner leder till motsägelser.
På detta sätt kom mängdteorin från början att bli en del av den moderna logiken. Speciellt har man studerat vilka axiom som, i olika avseenden, är lämpliga för mängders konstruktion och om något mängdaxiom (som "urvalsaxiomet") eller någon annan utsaga (som "kontinuumhypotesen") följer från andra axiom eller är oberoende av dessa.
Studiet av härledningsmetoder - med hjälp av formella språk och bevissystem - leder in på bevisteorin, som bland annat undersöker olika bevissystems (relativa) styrka, dvs. hur "mycket" man kan härleda med hjälp av vissa härledningsregler och grundantaganden. Med starkare bevissystem så är risken större att man kan härleda motsägelser.
Poängen med formella språk är att de kan uttrycka något intressant om någonting samtidigt som de är väldefinierade objekt som kan studeras matematiskt. Inom lingvistiken kallas studiet av vad en språklig utsaga uttrycker för semantik; semantiken ger en utsaga en "mening" eller "betydelse" och inte bara en (syntaktisk) form. De objekt som utsagorna säger något om kallas inom logiken för modeller (eller strukturer). Studiet av relationen mellan egenskaper som kan uttryckas med en viss sorts (formella) utsagor och modellerna som har dessa egenskaper kallas för modellteori. Eftersom strukturer från exempelvis algebra, geometri, aritmetik, analys och kombinatorik kan ses som modeller i den ovan nämnda meningen, så finns ett nära samspel mellan modellteori och andra områden inom matematiken.
Frågan om det finns en algoritm (eller "program") som löser en viss typ av problem är central inom matematiken, och givetvis i praktiska sammanhang. Eftersom denna fråga visat sig vara högst relevant för förståelsen av problem som exempelvis huruvida en utsaga kan härledas eller ej med hjälp av givna axiom och härledningsregler, så har beräkningsteorin, eller rekursionsteorin, inom den matematiska logiken lett till ett generellt studium av begreppet beräkningsbarhet. Studiet av beräkningar är också kopplat till logik genom att induktiva, eller rekursiva, metoder är väsentliga för såväl konstruktion av algoritmer som vid konstruktion av formella språk och bevis.
Eftersom logiken behandlar ämnen som problemet vad giltiga slutsatser är, matematikens grundvalar, språks syntax och semantik, samt beräkningsbarhet, så är den tvärvetenskaplig till sin natur och studeras också inom filosofin, lingvistiken och datavetenskapen.
Mer om matematisk logik på Wikipedia.
Länkar till sidor med beskrivningar av tillämningar av logik inom datavetenskapen.
- Logikprogrammering.
- Formella metoder: att bevisa att komplexa system gör det de ska, och inte det de absolut inte får göra. På engelska. Mer grundläggande och på svenska.
- Artificiell intelligens.
På matematiska institutionen ges följande kurser i logik.
På grundutbildningsnivå:
På masterprogrammen:
- Komplexitetsteori (10hp).
- Modellteori (10hp).
- Rekursionsteori (7,5hp).
- Semantiska metoder (10hp).
- Tillämpad logik (10hp). En poster om kursen.
- Typteori och lambdakalkyl (10hp).
Logiker vid matematiska institutionen.
-
14 januari, 2010,
Vera Koponen.