20 000 artiklar sedan 1996  

Synpunkter
Tipsa CS
Skicka press-
meddelande
Läsarservice
Redaktion
Om CS

Annonsera

IDG
 

Computer Sweden är Sveriges ledande IT tidning.
CS publicerar nyheter varje dag på www samt tre gånger i veckan på papper.
Skriv gärna till cs@idg.se

Design:
Lime Reklambyrå

Räkna med kaos det bästa vi kan göra

Väderutsikter förbättras inte av kraftfullare datorer eller bättre mjukvara.
Vädret är, kort sagt, kaotiskt.
Att beräkna vädret mer än några dagar framåt är teoretiskt omöjligt.
En svensk forskares sensationella bevis tyder på det.
Det hjälper inte att göra noggrannare mätningar.
Ju noggrannare man mäter, ju mer uppenbart blir det att resultaten är oförutsägbara.
Så tycks det vara inom meteorologin.
Detaljerade prognoser kan bara göras några dagar i förväg. Försöker man räkna längre framåt i tiden kan resultatet bli nästan vad som helst.
Vädret förefaller inte bara kaotiskt, i synnerhet denna sommar. Det är också kaotiskt i en strikt definierad, matematisk betydelse.
Det vill säga: det går visserligen att räkna på vädret.
Men resultatet av beräkningarna är lika oförutsägbart som vädret självt.
Verktygen för att förstå sådana sammanhang kommer från kaosteorin.
Omöjligt räkna på oändligt
Kaosteori slog igenom som modevetenskap i slutet av 80-talet.
Termen figurerar ibland i flummiga sammanhang, men själva kaosteorin är inte flummig.
Det är en gren av matematiken och har vuxit upp tillsammans med datorerna.
Kaosteori kräver nämligen evinnerligt långa, upprepade beräkningar som bara datorer orkar med.
Resultatet är ofta grafiskt slående figurer. Det mest kända exemplet på kaotisk matematik är Mandelbrot-mängden.
Mandelbrot-mängden är oändligt komplicerad i sin färggranna detaljrikedom.
Felet med allt som är oändligt komplicerat är att man aldrig blir klar med beräkningarna.
I själva verket har ingen någonsin ritat upp Mandelbrot-mängden. Allt vi har är etappresultat. Att beräkna och rita upp den helt och hållet kräver oändlig tid.
Det är det som är problemet med kaosteorins långa, upprepade beräkningar. De tar aldrig slut.
Svagheten med datorstödet i matematik är just att datorer bara klarar av elementär matematik - egentligen bara plus och minus. De kan inte handskas med oändlighet.
Detta innebär att något som verkar kaotiskt kan visa sig vara regelbundet - man vet ju inte vad som händer om man låter datorn räkna ett tag till.
Så om man vill bevisa något på ett matematiskt hållbart sätt måste man ta till andra metoder.
Warwick Tucker, doktorand i matematik vid Uppsala universitet, har lyckats kombinera datorbaserade beräkningar med traditionell matematisk bevisföring "med papper och penna".
Resultatet är en doktorsavhandling som kan beskrivas som sensationell.
Började med vädret
Det problem som Warwick Tucker har löst i sin avhandling räknas nämligen som ett av de stora problemen inom 1900-talets matematik.
Han har bevisat att Lorenz-attraktorn är kaotisk.
Detta kan låta som kinesiska.
De flesta vet troligen varken vem Lorenz är eller vad en attraktor är.
Men man kan uttrycka det enklare:
Det går inte att förutsäga vädret i detalj.
Det går att göra det för en kortare tid. Sedan gör ackumulerade minimala fel att det blir omöjligt.
Kopplingen mellan meteorologin och kaosteori är stark.
Inte bara därför att vädret är det mest påtagliga exemplet på ett kaotiskt system.
Utan även för att kaosteorin faktiskt uppstod inom meteorologin.
Upphovsmannen var MIT-professorn Edward Lorenz - Lorenz med attraktorn.
I början av 60-talet experimenterade han med simulerade modeller av vädret.
Han försökte skapa ett enkelt system för att beskriva hur vatten avdunstar, bildar moln, avkyls och faller som regn.
Det blev ett enkelt system med tre ekvationer och tre obekanta.
Men det blev så lagom enkelt när han skulle köra ekvationerna i sin dator.
Beräkningarna tog, för det första, aldrig slut.
För det andra betedde sig det grovt förenklade vädersystemet på ett besynnerligt sätt.
Helt oförutsägbart hoppade resultatet av beräkningarna fram och tillbaka.
Hopp mellan vingarna
När datorn ritade upp resultatet av beräkningarna som en kurva kunde Lorenz se hur kurvan först rörde sig mjukt i en spiralrörelse - för att sedan gå till ett helt annat ställe med ett hopp. Där återkom den mjuka spiralrörelsen - och plötsligt kom ett nytt hopp.
Hela kurvan bildar ett fjärilsliknande mönster av två hopkopplade spiraler. Kurvan hoppar fram och tillbaka mellan de två spiralerna på ett oförutsägbart sätt.
Lorenz gjorde flera observationer:
* Man kan inte förutse när hoppen ska ske.
* Hur länge man än kör beräkningarna så går kurvan aldrig tillbaka i (exakt) samma spår.
Han märkte också att kurvan höll sig inom ett visst utrymme. Startade man med värden som låg långt utanför fjärilen så hoppade kurvan ändå strax in i figuren, och sedan höll den sig där. Hur länge Lorenz än lät datorn räkna så höll sig kurvan, trots de oförutsägbara hoppen, inom figuren.
Och kurvan passerade, som sagt, aldrig samma punkt två gånger.
Den egendomliga kombinationen av oförutsägbarhet i detaljer och en övergripande helhetsbild är vad som kännetecknar kaotiska system.
Det som håller kurvan inom figuren är vad som kallas för en attraktor. Den drar till sig kurvan, var den än börjar.
Attraktor är ett gammalt matematiskt begrepp. Man kan jämföra det med botten i en rund skål. Släpp ned en kula i skålen, så snurrar den runt ett slag. Till sist lägger den sig till vila i skålens botten. Den punkt som "drar till sig" kulan är attraktorn.
Lorenz-attraktorn, däremot, har ingen vilopunkt.
I en kaotisk skål skulle kulan aldrig lägga sig till ro.
Det finns en attraktor, men den liknar mest spaghetti.
Man talar i kaosteorin om den "magiska attraktorn".
Inga detaljer, bara helheten
Det är svårt att tänka sig en kaotisk skål, men det finns andra enkla system som beter sig kaotiskt. Redan i början av 1900-talet upptäckte den svenske forskaren ZZZZ ZZZZ att droppande vattenkranar, under vissa betingelser, beter sig kaotiskt. ZZZZ ZZZZ var före sin tid, och hans rön betraktades mest som kuriosa.
På Köpenhamns flygplats fanns det tidigare en enkel snurra som var konstruerad för att bete sig kaotiskt. Den liknade en tvåbladig propeller, men på det ena bladet fanns ett gångjärn. Den rörliga delen av "propellern" var noggrant tillmätt. Satte man snurran i rotation så bytte den rotationsriktning med oregelbundna intervall tills den stannade.
Nå.
Meteorologi är ju praktiskt relevant. Droppande vattenkranar och konstigt vinklade propellrar har kanske mindre betydelse. Kaosteorin lämpar sig däremot utmärkt för all slags modellering av hur gaser och vätskor beter sig. Men det viktigaste resultatet kanske blir en omorientering av vissa forskningsinsatser.
- En poäng, säger Warwick Tucker, är att man kan bevisa att något inte går. Om vi kan göra en tredagarsprognos i år så kan vi kanske om 20 år göra en prognos på tre dagar och en minut. Då bör man kanske satsa pengarna på annat.
- Man måste komma ihåg att den överordnade strukturen i kaotiska system är väldigt ordnad. Man kan inte följa enstaka partiklar, men man kan räkna på helheten.

***


Hundra miljoner års arbete på en dag

Lorenz-attraktorn finns med på listan över nästa århundrades 18 stora matematiska problem. Listan skrevs av professor Steve Smale och publicerades i tidskriften "The Mathematical Intelligencer". Nu är det bara 17 kvar.
Det tog Warwick Tucker fem år av avhandlingsarbete vid Uppsala universitet, varav tre på heltid, att lösa problemet.
- Jag har ingen familj, berättar han, och det är nog lika bra. Det blir inte mycket hemliv, jag har hållit på med det här dag och natt.
Warwick Tucker har en australiensisk far, därav namnet, men har bott i Sverige sedan femårsåldern.
Ett dataprogram ingår i avhandlingen, som ska dryftas den 24 september. Det är första gången som ett dataprogram ingår i en matematisk avhandling.
- Det hade inte gått att lösa problemet med bara papper och penna, som man traditionellt gör inom matematik, berättar Warwick Tucker. Men det hade inte gått bara med dator heller.
Problemet med datorer är förstås att de har begränsad noggrannhet. De klarar bara av ett bestämt antal decimaler. Men i kaosteorin blir decimalerna fler och fler, ju längre man räknar.
- Jag löste det genom att arbeta med intervall. Jag kan inte ange ett exakt värde, men jag kan visa att det håller sig inom ett felintervall.
Datorstödd bevisföring är fortfarande kontroversiellt inom matematiken, "men vår generation kommer att använda det".
Allt lossnade, berättar Warwick, när han insåg att lösningen var att kombinera "papper och penna" med datorstöd.
Datorprogrammet beskriver han som "otroligt enkel logik" och "rena spaghettikoden". Källkoden tar bara några sidor i avhandlingen.
För att leda sin hypotes i bevis körde Warwick programmet om och igen, som när man räknar ränta på ränta.
- Med den första metoden som jag försökte med hade det tagit tio upphöjt till åtta år.
- Med datorprogrammet tog det en dag.
Warwick insåg på ett tidigt stadium att han hade funnit lösningen på Lorenz-problemet.
- Jag visste att jag hade lösningen, men det är en annan sak att implementera den.
Den dag då Warwick Tucker kunde gå upp till sin handledare och berätta att "nu är det klart" var i maj i år.
- Sedan dess har jag bara skrivit.
Efter disputationen åker Warwick Tucker till Rio i Brasilien för att forska i två år.
- Brasilien är en spjutspets inom kaosforskningen. Forskarna som jag ska arbeta med har definierat stora delar av kaosteorin.

Kaos