Uppsala tekniska högskola Inluppar

Matematiska institutionen inlupp2001 Christer Kiselman 2001 09 15

Inlämningsuppgifter på kursen Fouriermetoder

Lämna in lösningar på uppgift 1 senast på föreläsningen den 28 september. Märk lösningen med din gruppbeteckning: WA (Christer), WB (Maciej), KA (Anders) eller KB (Karl-Heinz) – det blir gruppledarna som får läsa och kommentera lösningarna. Lämna in lösningar på uppgift 2 senast den 15 oktober.

1. Värmeledningen i jorden antas vara styrd av ekvationen u_{t}(z, t) = κu_{zz}(z, t), där z är djupet under markytan mätt i meter, t tiden mätt i dagar från 2001 01 01, klockan 00:00, och där u(z, t) är temperaturen mätt i ^{∘}C på djupet z vid tiden t. Vidare är κ en positiv konstant, vars värde beror på jordens beskaffenhet. Mer precist kallas κ för värmediffusiviteten och mäts (i denna uppgift) i kvadratmeter per dygn.

(a) Ta reda på värdet hos κ för olika jordarter och bergarter, samt gärna också för olika metaller. Om tabellerna du konsulterar inte listar värmediffusiviteten, så kan den beräknas mätt i kvadratmeter per sekund som κ = λ/ρc, där λ är värmekonduktiviteten (mäts i W/m·K), ρ densiteten (mäts i kg/m^{3}) och c värmekapacitiviteten (mäts i J/kg·K).

(b) Visa att det för varje positivt tal α finns positiva tal β och γ sådana att u(z, t) = e^{−βz} cos(αt − γz) löser ekvationen för z > 0, t > 0. Ange värdet hos β och γ för varje α. (Termen −γz medför att vågen försenas med γz/α dygn.)

(c) Vi studerar nu temperaturens dagliga och årliga variation, och antar att den vid jordytan, således vid z = 0, ges av en formel

u(0, t) = \frac{1}{2}A_{0} + A_{1} cos(α_{1}(t − t_{1})) + A_{2} cos(α_{2}(t − t_{2})), t > 0,

där \frac{1}{2}A_{0} är medeltemperaturen, A_{1} den dagliga amplituden och A_{2} den årliga amplituden. Vidare är α_{1} = 2π och α_{2} = 2π/365 de vinkelfrekvenser som hör till den dagliga respektive årliga variationen, medan tidpunkterna t_{j} anger när under dagen respektive året det är varmast. Vad blir nu (med ledning av (b)) temperaturen u(z, t) på djupet z och vid tiden t?

(d) På vissa djup, som vi beteckar med d_{11} < d_{12} < d_{13} < ⋯, är fasen motsatt den vid ytan för den dagliga variationen (dvs. det är kallast när det är varmast vid ytan), och på vissa djup, som vi betecknar med d_{21} < d_{22} < d_{23} < ⋯, är fasen hos den årliga variationen motsatt den vid ytan. Bestäm d_{11} och d_{21} samt kvoten d_{21}/d_{11} (för några vanliga jordarter eller bergarter).

(e) Vad blir den dagliga amplituden hos temperaturen på djupet d_{11}?

(f) Vad blir den årliga amplituden hos temperaturen på djupet d_{21}?

2. En signal f definieras av att

f(t) = \{ \begin{matrix}cos(2πα_{1}t) + \frac{3}{10} cos(2πα_{2}t), & 0 ≤ t < \frac{2}{5}, \\ cos(2πβ_{1}t) + \frac{7}{10} cos(2πβ_{2}t), & \frac{2}{5} ≤ t < 1, \\ 0 & annars. \end{matrix}

Här är t tiden mätt i sekunder, och α_{1} = 320 Hz, α_{2} = 900 Hz, β_{1} = 290 Hz, β_{2} = 2300 Hz.

(a) Rita upp amplitudspektrum för signalen f, dvs. |f̂(ω)| som funktion av ω > 0. Det har fyra toppar. Beräkna deras höjder approximativt. Vilken topp är högst? (Topparna till de åtta rena exponentialsvängningar som bygger upp signalen kan beräknas exakt, så det gäller att visa att där en viss term har sitt maximum de övriga sju termerna inte stör alltför mycket.)

(b) Dela nu upp signalen f i fem delsignaler f_{1}, ..., f_{5} genom att definiera

f_{j}(t) = \begin{cases}f(t), & \frac{1}{5}(j − 1) ≤ t < \frac{1}{5}j, \\ 0, & annars, \end{cases} j = 1, ..., 5.

Rita upp amplitudspektrum för var och en av signalerna f_{j}. Rita också ett spektrogram, dvs. ett diagram med tiden t som abskissa och frekvensen ω som ordinata, och där en stark signal anges medelst svärtning. (Spektrogrammet innehåller fyra linjestycken, svarande mot de fyra frekvenserna, och dessas lägen skall ritas in.)

(c) Man vet att vokalen [i] kännetecknas av att dess andra formant ligger omkring tre oktaver högre än dess första formant, medan hos [a] den andra formanten ligger blott en halv oktav högre än den första. Hos [u], slutligen, är den andra formanten betydligt svagare än den första och har en frekvens som är en och en halv oktav högre än den förstas. Vilka av dessa tre vokaler syntetiseras bäst av signalerna f_{1}, ..., f_{5}?