UPPSALA UNIVERSITET

Matematiska institutionen

ÖVNINGAR, Blad 1

Fouriermetoder

2001 08 26 ovning010826

1.1. Bevisa med hjälp av definitionen e^{z} = e^{x}(cos y + i sin y) räknereglen (d/dt)e^{ct} = ce^{ct}, t ∈ R, där c = a + ib är en komplex konstant. Visa sedan samma regel om man i stället definierar e^{z} = ∑_{0}^{∞} z^{n}/n! (och räknar friskt med konvergenta serier).

1.2. Radium _{88}^{226}Ra övergår under utsändande av α-strålar till radon _{86}^{222}Rn, varvid mängden radium minskar enligt formeln u′(t) = −0, 0004327u(t), där t mäts i år. Bestäm halveringstiden. Bestäm också Laplacetransformen ℒ(u), om u(0) = 1 g. Ange ℒ(u)(0) i kilogramår.

1.3. En oscillator styrs av differentialekvationen h′′(t) + 4h(t) = 0, där t mäts i sekunder och h i meter. Hur stort blir största utslaget och när inträffar det om ingångsvärdena är h(0) = 0 m, h′(0) = 0, 01 meter per sekund (m/s)? Vad blir ℒ(h)? Ange ℒ(h)(0) i sekundmeter (sm). Vad är medelhastigheten under tiden fram till den första största avvikelsen? Hur blir det om i stället h′(0) = 0, 02 m/s?

1.4. Bestäm Laplacetransformen av f(t) = e^{t^{2}/2}.

1.5. Bestäm Laplacetransformerna till  a) 2t^{2} − e^{−t},  b) (t^{2} + 1)^{2},
c) (sin t − cos t)^{2},  d) cosh^{2} 4t,  e) e^{2t} sin 3t,  f) t^{3} sin 3t.

1.6. Bestäm inversa Laplacetransformen av a) \frac{1}{s(s + 1)}, b) \frac{3}{(s − 1)^{2}} , c) \frac{1}{s(s + 2)^{2}} ,

d) \frac{5}{s^{2}(s − 5)^{2}} ,  e) \frac{1}{(s − a)(s − b)} (två fall),  f) \frac{1}{s^{2} + 4s + 29}.

1.7. Bestäm inversa Laplacetransformen av  a) \frac{1 + e^{−s}}{s},  b) \frac{e^{−s}}{(s − 1)(s − 2)},

c) ln \frac{s + 3}{s + 2},  d) ln \frac{s^{2} + 1}{s(s + 3)},  e) \frac{s + 1}{s^{4/3}},  f) \frac{\sqrt{s} − 1}{s}.

[I c) och d) kan man använda regeln ℒ(f)′ = −ℒ(tf). I e) och f) kan man använda formeln ℒ(t^{a}) = Γ(a + 1)s^{−a−1}, Re a > −1. Dessa formler finns i Beta, fjärde upplagan, 326:L6, resp. 329:L55.]

1.8. Bestäm Laplacetransformen till f_{ε}(t) = \{ \begin{matrix}1/ε & för 0 < t < ε, \\ 0 & annars. \end{matrix}

Vad händer med ℒ(f_{ε}) då ε → 0?

1.9. Laplacetransformera f(t) = \{ \begin{matrix}(t − 1)^{2} & för t > 1, \\ 0 & annars. \end{matrix}

1.10. Låt H beteckna Heavisides språngfunktion. Bestäm Laplacetransformen till f(t) = t e^{−2t} H(t−1).

1.11. Bestäm Laplacetransformen av f(t) = ∫_{0}^{t} \frac{1 − e^{−u}}{u} du.

1.12. Beräkna ∫_{0}^{∞} t e^{−3t} sin t dt. (Ledning: beräkna ℒ(f)(3) för lämpligt f.)

1.13. Beräkna integralen ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−3t} − e^{−6t}}{t} dt.

Svar och anvisningar till vissa av övningarna på blad 1, 2001 08 26

1.2. Man får att ℒ(u′)(s) = sℒ(u)(s) − u(0) = −0, 0004327ℒ(u)(s), vilket ger ℒ(u) = u(0)/(s + 0, 0004327) och ℒ(u)(0) = 2311, 07 g·år = 2,31107 kg·år. Vidare blir u(t) = u(0)e^{−0,0004327t}, vilket gör att halveringstiden t_{1/2} måste uppfylla 1/2 = e^{−0,0004327t_{1/2}}. Av detta följer t_{1/2} = (log 2)/0, 0004327 = 1602 år.

1.3. Laplacetransformen för h′′ måste uppfylla ℒ(h′′)(s) = s^{2}ℒ(h) − sh(0) − h′(0) = −4ℒ(h)(s), varav ℒ(h)(s) = h′(0)/(s^{2} + 4) och h(t) = \frac{1}{2}h′(0) sin 2t. Speciellt gäller ℒ(h)(0) = h′(0)/4 = 2, 5 s·mm. Det största utslaget blir \frac{1}{2}h′(0) = 0, 005 m = 5 mm. Det inträffar första gången vid tiden t = π/4 ≈ 0, 7854 s. Medelhastigheten under denna tid är alltså 5 · 4/π ≈ 6, 366 mm/s, vilket verkar rimligt med tanke på initialhastigheten 10 mm/s. Om h′(0) i stället är 20 mm/s så ökar utslaget med en faktor två, liksom alla hastigheter. Däremot ändras inte perioden.

1.4. Funktionen har inte någon Laplacetransform.

1.5. (a) 4/s^{3} − 1/(s + 1). (b) 4!s^{−5} + 4s^{−3} + s^{−1} = s^{−5}(s^{4} + 4s^{2} + 24). (c) 1/s − 2/(s^{2} + 4). (d)

\frac{1}{4} \frac{1}{s − 8} + \frac{1}{2s} + \frac{1}{4} \frac{1}{s + 8}.

(e)

\frac{3}{(s − 2)^{2} + 9} = \frac{3}{s^{2} − 4s + 13}.

(f)

\frac{72(s^{3} − 9s)}{(s^{2} + 9)^{4}}.

1.6. (a) 1 − e^{−t}. (b) 3te^{t}. (c) \frac{1}{4}(1 − e^{−2t} − 2te^{−2t}). (d) \frac{1}{25}(2 + 5t − 2e^{5t} + 5te^{5t}). (e) Om a ≠ b så är den inversa transformen

\frac{e^{at} − e^{bt}}{a − b};

om a = b så är den te^{at}. (f) \frac{1}{5}e^{−2t} sin 5t.

1.7. (a) H(t)−H(t−1). (b) e^{2(t−1)}H(t−1)−e^{t−1}H(t−1). (c) (e^{−2t}−e^{−3t})/t. (d) (1+e^{−3t}−2 cos t)/t. (e)

\frac{t^{−2/3}}{Γ(1/3)} + \frac{t^{1/3}}{Γ(4/3)}.

(f) t^{−1/2}/Γ(\frac{1}{2}) − 1.

1.8. ℒ(f_{ε})(s) = (εs)^{−1}(1 − e^{−εs}) då s ≠ 0; ℒ(f_{ε})(0) = 1. Då ε går mot noll, så går ℒ(f_{ε})(s) mot 1 för alla s. Gränsvärdet av f_{ε} är det ideala elementet δ, vars Laplacetransform är 1 överallt.

1.9. Transformen blir 2s^{−3}e^{−s}.

1.10. Transformen blir e^{2−s}(s + 3)(s + 2)^{−2}.

1.11. Man får att ℒ(f′)′ = 1/(s + 1) − 1/s, varav ℒ(f′) = log \frac{s+1}{s} + C med noll som enda möjliga värde på konstanten C. Därför blir ℒ(f′) = sℒ(f) = log \frac{s+1}{s} och ℒ(f)(s) = s^{−1} log(1 + 1/s).

1.12. Sätt f(t) = t sin t. Man räknar ut att ℒ(f)(3) = 0, 06.

1.13. Man ser att integralen är ℒ(f)(0), där tf(t) = e^{−3t} − e^{−6t}. Då blir ℒ(f′) = −ℒ(tf) = 1/(s + 6) − 1/(s + 3), varav ℒ(f) = log \frac{s+6}{s+3} + C. Med det enda möjliga värdet C = 0 ger detta ℒ(f)(0) = log 2.