UPPSALA UNIVERSITET

Matematiska institutionen

ÖVNINGAR, Blad 2

Fouriermetoder

2001 09 14 ovning010914

2.1. Låt oss säga att två funktioner f, g: [0, +∞[ → R är väsentligen samma funktion om det finns två positiva konstanter a, b sådana att g(t) = bf(t/a), t ⩾ 0. (Varje teckning som illustrerar f duger då också för g om man ändrar skalorna längs axlarna.) Visa att om f och g är väsentligen samma funktion, så är deras Laplacetransformer ℒ(f) och ℒ(g) väsentligen samma funktion. Ange den exakta relationen.

2.2. Lös faltningsekvationen

f(t) + ∫_{0}^{t} f(t − x) sin x dx = 1, t ⩾ 0,

till exempel medelst Laplacetransformationen.

2.3. Beräkna faltningsprodukten u = x ∗ y av följderna x = (2, 2, 2, 2, 2, 0, 0, ...) och y = (1, −1, 0, 0, ...). Beräkna deras z-transformer X, Y och U. Verifiera att U(z) = X(z)Y (z).

2.4. En växelströmsignal ges av formeln

f(t) = A cos 100π(t − t_{0}), t ∈ R,

där t_{0} är den tidpunkt då strömmen är starkast i positiv riktning. Den kan då skrivas om till

f(t) = a_{50} cos 100πt + b_{50} sin 100πt,

där de nya konstanterna a_{50} och b_{50} beror på tiden t_{0}. Ange a_{50} och b_{50} som funktioner av t_{0}. Visa sedan att den totala effekten hos signalen, uttryckt som a_{50}^{2} + b_{50}^{2}, inte beror på t_{0}. (Fasförskjutning påverkar alltså inte effekten.)

2.5. Studera signalen

f(t) = 1 + A cos 100πt + B sin 200πt, t ∈ R,

där huvudperioden är T = 1 sekund och Ω = 2π/T = 2π. Bestäm (med hjälp av Parsevals formel) de reella konstanterna A och B så att precis lika mycket effekt finns hos likströmmen f_{0}(t) = 1 som hos den växelströmskomponent som har frekvensen 50 Hz och den komponent som har frekvensen 100 Hz. Vad blir då signalens totala effekt?

2.6. Formulera uppgift 2.1 för funktioner f, g: R → R och deras Fouriertransformer f̂, ĝ och lös denna nya uppgift.

Svar och anvisningar till övningsproblemen på blad 2, 2001 09 14

2.1. Man får ℒ(g)(s) = abℒ(f)(as), s ≫ 0. 2.2. Den enda lösningen med Laplacetransform är f(t) = \frac{1}{2}(1 + cos \sqrt{2}t), t ⩾ 0. 2.3. Man får att u = (2, 0, 0, 0, 0, −2, 0, 0, ...). Vidare blir X(z) = 2 + 2/z + 2/z^{2} + 2/z^{3} + 2/z^{4}, Y (z) = 1 − 1/z, U(z) = 2 − 2/z^{5} = X(z)Y (z). 2.4. Man räknar ut att a_{50} = A cos 100πt_{0}, b_{50} = A sin 100πt_{0}. Därför blir effekten

\frac{1}{2}(a_{50}^{2} + b_{50}^{2}) = \frac{1}{2}A^{2}(cos^{2} 100πt_{0} + sin^{2} 100πt_{0}) = \frac{1}{2}A^{2}

oberoende av t_{0}. 2.5. Parseval säger att effekterna är respektive |a_{0}/2|^{2} = 1, \frac{1}{2}|a_{50}|^{2} = \frac{1}{2}A^{2} och \frac{1}{2}|b_{100}|^{2} = \frac{1}{2}B^{2}. För att de tre effekterna skall vara lika är det nödvändigt och tillräckligt att 1 = \frac{1}{2}A^{2} = \frac{1}{2}B^{2}, dvs. A = ±B = ±\sqrt{2}. Effekten blir då 3 (kilowatt eller så). 2.6. Vi sätter nu g(x) = bf(x/a), x ∈ R, och finner att relationen mellan transformerna blir densamma som i 2.1: ĝ(ξ) = abf̂(aξ), ξ ∈ R.