Som vetenskap karaktäriseras matematiken bl.a. av att den uppfyller högt ställda krav på verifierbarhet. Det är möjligt att stjäla matematiska resultat, men knappast att fuska, eftersom varje påstående måste kunna verifieras.
Slutligen: definitionen säger att matematiken är en vetenskap. Trots att det finns tusentals matematiska teorier och många skapas varje år, och trots att det publiceras flera tiotusentals matematiska uppsatser varje år med hundratusentals nya satser av de mest skilda slag och med inriktning mot de mest varierande tillämpningar, så utmärks matematiken av en så stark inre enhetlighet och sammanhållning i tillvägagångssätt och angreppsmetoder att det vore oberättigat att tala om annat än en vetenskap. På franska heter matematik mathématiques i pluralis: Les mathématiques sont belles. Men Bourbaki kallade sitt verk Éléments de mathématique, med ordet i singularis. Det var just för att betona matematikens enhet. (Nicolas Bourbaki var pseudonymen för en inflytelserik grupp franska matematiker.)
En matematisk teori består av resultat som härleds ur en samling påståenden vilka betraktas som givna och utan bevis läggs till grund för teorin: de är dess axiom. Valet av axiom begränsas endast av kravet på utvecklingsmöjligheter och intresset hos den teori som kan byggas upp från axiomen. Genom denna frihet får matematiken starkt konstruktiva och intuitiva drag. Intuitionen spelar också en framträdande roll när man ställer upp och löser enskilda problem. Eftersom en matematisk teori alltid innebär att vissa slutsatser gäller under angivna förutsättningar, kan den principiellt inte utsäga något om den fysiska verkligheten. Icke desto mindre har matematiken blivit ett oumbärligt verktyg för en lång rad av ämnen, särskilt för astronomi, fysik, kemi, statistik och de tekniska vetenskaperna. Paradoxen uttrycks i titeln till en uppsats av Eugen P. Wigner från 1960: The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences.
Den vanligaste missuppfattningen rörande matematiken är att den är en avslutad vetenskap och att forskning inte längre bedrivs. Delvis beror detta på att gymnasiematematiken bara ger viss kontakt med den matematik som var aktuell och skapades på 1600- och 1700-talen och början av 1800-talet. Emellertid utvecklas matematiken ständigt genom en intensiv internationell forskning. Nya livsdugliga teorier skapas, och redan existerande förenklas och byggs ut. I själva verket överträffar de matematiska resultaten under 1900-talet allt som gjorts tidigare både i volym och kvalitet.
Mycket av den moderna musiken framställs med hjälp av synthesizers. Fram till omkring 1983 var dessa analoga, men därefter har de digitala helt tagit över, medan de analoga syntarna har kommit mer eller mindre ur bruk. Digital styrning av frekvensmodulering ger en fyllig och rik ljudkvalitet, som akustiska instrument skapar naturligt, men som är svår att åstadkomma med analoga syntar. Bakom utvecklingen av de digitala syntarna ligger en matematisk analys av hur ljud framställs. Med denna som grund utvecklades tekniken i Stanford och gick sedan rakt in i Yamaha DX-7, den första helt digitala synten.
Ett tredje exempel på hur avancerad matematik kan finnas dold är de felrättande koderna, som används vid dataöverföring men även i modern telefoni.
Ett fjärde exempel kan iakttagas när en bild överförs i digital form. Vid överföringen ser man först ett litet antal stora rutor, som sedan blir allt fler och samtidigt mindre. Fler och fler detaljer överförs successivt; matematiskt innebär det att man ser koefficienterna för bildsignalen, utvecklad i en viss bas, överföras. Koefficienterna, som är koordinaterna för en viss vektor, synliggörs alltså. I mobiltelefonen hörs de inte lika tydligt.
Matematiken brukar indelas i ren och tillämpad. Den rena matematiken utvecklas enligt detta synsätt utan tanke på praktiska tillämpningar, medan den tillämpade skapas för behov som har uppstått i ett annat sammanhang. I själva verket är situationen mer subtil än så. Den rena matematikens problem har, även om de har avlägsnat sig från tillämpningarna, sina rötter i problem som uppstått genom studium av naturen eller samhället. Och den tillämpade matematiken innehåller lösningar på problem som kan vara av stort rent teoretiskt intresse.
Den tillämpade matematiken har flera olika syften. Med Newtons gravitationslag som bas kan man med stor precision förutse kommande solförmörkelser — men man försöker inte åstadkomma solförmörkelser. I naturvetenskapen används matematiken för att göra prognoser och skapa en enhetlig ram för förståelsen av naturfenomen. Inom tekniken har matematiken en helt annan roll: att vara ett verktyg för skapande, för att åstadkomma något önskat, att konstruera en maskin med önskvärda egenskaper.
Ett klassiskt exempel på hur matematiken skapar sammanhang där tidigare forskning givit en fragmenterad bild är Keplers och Newtons lagar. Kepler ställde upp tre lagar för planeternas rörelser, nämligen att en planet rör sig i en elliptisk bana med solen i den ena brännpunkten; att den rör sig så att radius vektor sveper över en area med konstant hastighet; samt att olika planeters omloppstider i kvadrat är proportionella mot medelavståndena till solen i kub. Newton formulerade sin gravitationslag så att gravitionskraften är proportionell mot produkten av de två planeternas massor och omvänt proportionell mot kvadraten på deras avstånd. Detta är fyra lagar, och man kan lätt tänka sig universa där vissa av dem är uppfyllda och andra inte: det blir totalt sexton olika fall. Lagarna framstår som fyra olika faktapåståenden som inte hänger ihop. Men med matematik kan man visa att Keplers tre lagar följer av Newtons gravitationslag och hans rörelselag.
Matematiken ger en helhetsbild: de keplerska lagarna är inte längre tre osammanhängande påståenden om världen; de följer av en enda lag. Matematiken ger sammanhang och förståelse. Behovet att känna att världen hänger samman är en djupt mänsklig drift, som vi alla behöver tillfredsställa.