$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...tet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ Thomas Erlandsson \end{flushleft}}$

VACKRA PROBLEM

Sfärisk geometri

Enligt I.$\,18$ gäller för en triangel $\,ABC\,$ i absolut geometri att om t.ex $\,AC>AB\,$ så är $\,\wedge B>\wedge C.$ I beviset av denna sats användes I.$\,16.$ Denna proposition gäller dock inte för alla sfäriska trianglar. I.$\,18$ däremot är faktiskt sann inte bara för trianglar i absolut geometri utan också för alla sfäriska trianglar. Om vi önskar bevisa detta kan vi förstås inte använda I.$\,16.$ Man kan nu göra en intressant observation. För att bevisa I.$\,18$ räcker det att utnyttja en svagare version av I.$\,16,$ nämligen följande

PROP. I. $\,16^{''}.$ För alla trianglar i absolut geometri samt för alla sfäriska trianglar med innervinklarna $\,\alpha_1,$ $\,\alpha_2\,$ och $\,\alpha_3\,$ gäller att

$$\pi-\alpha_3>\alpha_1-\alpha_2\quad \mbox{ etc. }$$

1.

Bevisa I. $\,16^{''}.$

Ledning: Arean av en sfärisk triangel är $\,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-\pi.$

Anm. I. $\,16^{''}\,$ följer trivialt från I.$\,16,$ i absolut geometri. Det svåra är att bevisa I. $\,16^{''}\,$ för sfäriska trianglar. Varje innervinkel i en sfärisk triangel antas vara mindre än $\,\pi.$

2.

Använd I. $\,16^{''}\,$ för att bevisa att I.$\,18\,$ också gäller för sfäriska trianglar. Bevisa sedan att även I.$\,19\,$ och I.$\,20\,$ gäller för sfäriska trianglar.

3.

Visa att [I. $\,26,\,V-S-V]\,$ gäller för sfäriska trianglar. Ge exempel på sfäriska trianglar som inte uppfyller [I. $\,26,\,S-V-V].$

4.

Gäller I.$\,24\,$ och I.$\,25\,$ generellt för sfäriska trianglar? Ge bevis eller motexempel.

Tillbaka till Geometri MN1

Tillbaka till Geometri MN2