Ledning 4
Träddiagram kan nog vara till hjälp.
Ledning 5
Använd någon viktig sannolikhetslag!
Ledning 6
P(två likadana bokstäver faller ner)=4/7*1/6=2/21.
Lösning
Om två likadan bokstäver faller ner får skylten automatiskt korrekt text. Om två olika faller ner så är sannolikheten 1/2 att analfabeten sätter dem rätt. Vi har att P(två likadana bokstäver faller ner)=P(först P eller A, sen samma igen)=4/7*
1/6=2/21 så lagen om total sannolikhet ger att P(korrekt text)=P(två olika)*1/2+P(två lika)*1=19/21*1/2+2/21*1=23/42.
Prickskytte
Personer A och B skjuter prick mot en måltavla. Oberoende av vem som skjuter är
P(träff
)=p och olika skott är oberoende av varandra. De skjuter i följden A, B, A, B, A, B, A... ändå tills de sammanlagt har fått två träffar. Vad är sannolikheten att det är samma person som får in bägge träffarna?
Ledning 1
Det hela blir enklare om man först tar sig an följande delproblem: beräkna sannolikheten att A respektive B får första träffen.
Ledning 2
Det påminner om problem 217 som vi räknade på lektionen!
Ledning 3
Givet att A fått första träffen, vad är sannolikheten att hon även får nästa träff?
Ledning 4
Träddiagram kan nog vara till hjälp här med.
Ledning 5
Lagen om total sannolikhet kommer nog till användning.
Lösning
P(A får första träffen) kan fås på åtminstone två sätt. Dels kan man konstatera att P(A får första träffen)=p+(1-p)*B(får första träffen) och att P(B får första träffen)=(1-p)*P(A får första träffen) och sedan lösa ut sannolikheterna som vi gjorde i problem 217 på lektionen. Man kan också lösa det genom att få en geometriskt serie; P(A får första träffen)=P(A träffar med första skottet)+P(A missar, B missar, A träffar)+P(A missar, B missar, A missar, B missar, A träffar)+...=p+(1-p)(1-p)p+(1-p)4p+...=∑∞k=1p(1-p)2k=p/(1-(1-p)2)=1/(2-p). Motsvarande sannolikhet för B fås snabbt, exempelvis genom att P(B får första träffen)=1-P(A får första träffen)=(1-p)/(2-p).
Vi kan nu "nollställa" räknaren efter den första träffen. Med den ordning som A och B skjuter i i åtanke ser vi då att P(A får andra träffen | A fick första träffen)=P(B får andra träffen | B fick första träffen)=(den andra som skjuter får första träffen)=(B får första träffen)=(1-p)/(2-p).
LOTS ger nu att P(Samma person får båda träffarna)=P(A får första träffen)*P(A får andra träffen | A fick första träffen)+P(B får första träffen)*P(B får andra träffen | B fick första träffen)=((1-p)/(2-p))*(1/(2-p)+(1-p)/(2-p))=(1-p)/(2-p).
Observera att sannolikheten att samma person får båda träffarna är densamma som sannolikheten att B träffar först. Med facit i hand är det "uppenbart". Varför?
