Lektion 3
Här kommer ytterligare ett exempel på hur sannolikhetsteori kan användas inom vanlig analys: visa med hjälp av sannolikhetsteori att e-n∑nk=0nk/(k!)→1/2 då n→∞.
Ledning 1
Någon viktig sats kan nog vara till nytta här!
Ledning 3
Kanske en sannolikhetsfunktion eller fördelningsfunktion?
Ledning 4
Om X~Po(n) så är P(X=k)=nke-n/(k!).
Ledning 5
Och alltså är P(X≤n)=e-n∑nk=0nk/(k!).
Ledning 6
Om X~Po(a) och Y~Po(b) är oberoende så är X+Y~Po(a+b).
Ledning 7
Så om Xi~Po(1) är oberoende för i=1, 2, 3, ... så är X1+X2+...+Xn~Po(n).
Ledning 8
Vad händer när n växer mot oändligheten?
Ledning 9
När n är stort så är Po(n)≈N(n,n). CGS!
Lösning
Låt Xi (i=1, 2, 3, ...) vara oberoende Po(1)-fördelade slumpvariabler och låt Sn=X1+X2+...+Xn. Då är Sn~Po(n) så P(Sn≤n)=e-n∑nk=0nk/(k!). Centrala gränsvärdessatsen ger att P(Sn≤n)=P((Sn-n)/(√n)≤0)→Φ(0)=1/2 då n→∞.
|
