(a) Inför slumpvariabeln Y_i, som är sådan att Y_i=1 om X_i<8 och Y_i=0 annars. Då är ∑Y_i~Bin(100,p) där p=P(X_i<8). Vi vill ha ett konfidensintervall för p.

Parametern p i binomialfördelningen skattas som p^*=∑Y_i/100. Här fås p^*=70/100=0.7.

Vi vill nu ha ett konfidensintervall för p. Vi behöver därför en lämplig referensvariabel.

En sådan hittas i avsnitt 2.2.3 i formelsamlingen. Valet kan motiveras så här: ∑Y_i≈ N(100p,100p(1-p)) om "100p(1-p)>5". Vi vet inte om så är fallet, men vi kan åtminstone konstatera att 100p^*(1-p^*)=21>5, så det verkar troligt att normalapproximationen fungerar. Medelefelet d(p^*)=√(100p^*(1-p^*)) och vi får därmed slutligen att (p^*-p)/d(p^*)≈N(0,1).

Vi kan nu härleda konfidensintervallet på vanligt vis. Vi vill ha ett 95%-igt konfidensintervall och tittar därför på normalfördelningens kvantil λ_0.025=1.9600. Vi får att 0.95≈P(-1.96 ≤ (p^*-p)/d(p^*) ≤ 1.96)=...=P(p^*-1.96d(p^*)≤ p ≤ p^*+1.96d(p^*)).

Konfidensintervallet blir alltså I_p=(0.7-1.96√(100*0.7*0.3), 0.7+1.96√(100*0.7*0.3))≈(0.61, 0.79).

(b) Vi vill nu ha ett konfidensintervall för μ. Vi kan få det genom att beskriva μ som en funktion av p.

p=P(X_i<8)=P((X-i-μ)/1 < (8-μ)/1)=Φ(8-μ). Så genom att invertera funktionen får vi att 8-μ=Φ^-1(p) ⇔ μ=8-Φ^-1(p), vilket är en strängt avtagande funktion av p.

Sats 7.5 på sidan 304 i Alm/Britton ger nu att I_μ=(8-Φ^-1(0.79), 8-Φ^-1(0.61))=(7.19, 7.72), där vi får Φ^-1(p) genom att titta i tabellen för Φ(x) och se vilka x som ger de två sannolikheterna 0.79 och 0.61.