$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ndsson, Lars-Åke Lindahl \\ Björn Ivarsson, Mattias Palmer\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} Tentamen\\ Analys MN1\\ 2000-01-13\end{flushright}}$

Skrivtid: 9.00-14.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.
Maximal poäng på varje problem är 5. För godkänt krävs 18 poäng och för väl godkänt 28 poäng inklusive eventuella bonuspoäng.

1.

Beräkna

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln^2(1+x)-x^2}{e^{x^3}-1}\,.$$

2.

Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $\,y''-y= x-1\,$ för vilka $y(0)=1, \,y'(0)=0.$

3.

Beräkna integralerna

$$a)\quad \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(2+\ln x)} \qquad\qquad\qquad b)\quad\int_0^1 \ln(1+x^2)\,dx.$$

4.

Bestäm största möjliga volymen för den cylinder som bildas då rektangeln med hörn i

$$A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=(a,ae^{-a}),\quad D=(0,ae^{-a}),$$

roterar kring x-axeln, $0<a<\infty.$

5.

Skissera kurvan

$$y=\frac{\vert x-1\vert}{x-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right).$$

Bestäm särskilt dess definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter.

6.

För vilka värden på konstanten $\,a\,$ är serien

$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1} \frac{1}{n^a}$$

konvergent? För vilka $\,a$-värden är serien dessutom absolut konvergent?

7.

Lös differentialekvationen $y'+(2\tan x)y\,=\cos^2x,\quad \vert x\vert<\frac{\pi}{2}.$

8.

Bestäm de värden på konstanten $\,m\,$ för vilka linjen $\,y=mx+5\,$ tangerar kurvan

$$\,x^2+y^2=9.$$

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\hphantom{\cos2x}=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...{{\alpha}({\alpha}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \end{array}$$

Till svar

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1