$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ka Institutionen}\\ T Erlandsson, J Eriksson, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2001-12-14\end{flushright}}$

Tentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng. För väl godkänt 28 poäng.
Skrivtid: 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\,$?

2.

Vad är integralen $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\,$?

3.

Vad är integralen $\int_{1/e}^{1}\frac{1}{x} \,dx\,$?

4.

Vad är integralen $\int_0^{\sqrt{2}} x\,e^{-\frac{x^2}{2}} \,dx\,$?

5.

Vad är integralen $\int_0^\infty x\,e^{-x} \,dx\,$?

6.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''=e^{-x} ,\quad y(0)=y'(0)=0\,$?

7.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y\,dy= \frac{dx}{x},\quad y(1)=1\,$?

8.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y'+(\cos x)\,y=\cos x,\quad y(0)=0\,$?

9.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''-2y'+y=1,\quad y(0)=y'(0)=0\,$?

10.

Vad är lösningen till differentialekvationen $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x},\quad y(1)=1\,$?

11.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}\,$?

12.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/3}-1}{x}\,$?

13.

$y=\ln(\ln x)\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

V.G.V!

14.

$y=x\,e^{-x}\,$ har precis en asymptot. Vilken är asymptoten?

15.

Vad är det största värdet av $\,xe^{-\frac{x^2}{2}}\,$ på intervallet $\,0<x<\infty$?

16.

Vad är det största värdet av $\,x(x-1)^2\,$ på intervallet $\,0\le x \le 2$?

17.

Vad är Maclaurinserien $\,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\,$ av funktionen $\frac{1}{1-x},\,\,\vert x\vert<1\,?$

18.

Vad är summan av serien $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(\frac{1}{\sqrt{2}})^n\,$?

19.

Vad är $\lim_{x\to \infty} x\sin \frac{1}{x}\,$?

20.

Låt $\,k\,$ vara ett reellt tal $\,\ne 0.$ Vad är $\lim_{x\to 0}\sin \frac{(kx)^2}{x^2}\,$?

PROBLEM

1.

Låt

$$f(x)=-x\ln x - (1-x)\ln(1-x),\quad 0< x <1.$$

Beräkna $\lim_{x\to 0+}f(x)\,$ samt $\lim_{x\to 1-}f(x).$ Bestäm också funktionens största värde. Motivera noggrant.

2.

Skissera kurvan

$$y=\frac{(x-1)^2}{x}=x-2+\frac{1}{x}.$$

Bestäm definitionsmängden, eventuella lokala extrempunkter, vertikala och sneda asymptoter samt eventuella inflexionspunkter.

3.

Skissera kurvan

$$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\, 0\le x < 1 \,.$$

Ange särskilt dess asymptot.

a)

Beräkna arean av ytan mellan kurvan och $\,x-$axeln i intervallet $\,0\le x <1.$

b)

Beräkna volymen av den rotationskropp som genereras då ytan mellan kurvan och x-axeln i intervallet $\,0\le x < 1\,$ roterar kring $\,y$-axeln.

4.

Bevisa att om

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}&\frac{\sin x}{x}, &x\ne 0\\ &1,& x=0\end{array}\right.$$

så är $\,f'(0)=0.$ Beräkna också $\,f''(0).$

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\hphantom{\cos2x}=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...{{\alpha}({\alpha}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \end{array}$$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1