$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...iska Institutionen}\\ T Erlandsson, J Eriksson, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} TENTAMEN 2001-12-14\\ Analys MN1\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

0

2.

2

3.

1

4.

$1-\frac{1}{e}$

5.

1

6.

$y=e^{-x}+x-1$

7.

$y=\sqrt{1+\ln x^2}$

8.

$y=1-e^{-\sin x}$

9.

$y=xe^x-e^x + 1$

10.

$y=x$

11.

1

12.

$\frac{1}{3}$

13.

$x=1$

14.

$y=0$

15.

$\frac{1}{\sqrt{e}}$

16.

$2$

17.

$\sum_{n=0}^\infty\,x^{n}=1+x+x^2+x^3+ \dots$

18.

$\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$

19.

$1$

20.

$\sin k^2\,$ De som tolkat problemet som $\,\lim_{x\to 0}\frac{\sin k^2x^2}{x^2}\,$ och erhållit $\,k^2$ får också rätt.

4 problem till vilka fullständiga lösningar ska redovisas.

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

Standardgränsvärdet $\,\lim_{t\to 0+}t\ln t= 0\,$ samt $\,\ln 1=0\,$ ger att båda gränsvärdena är 0.
$y' = \ln\frac{1-x}{x}$. Funktionen saknar singulära punkter och $\,y'=0\,$ om och endast om $\,\frac{1-x}{x}=1,$ dvs $\,y'\,$ har det enda nollstället $\,x=\frac{1}{2}.$ Eftersom $\,y(\frac{1}{2})=\ln 2 >0\,$ följer direkt enligt en sats i Adams Calculus (Adam's Gift) att funktionens största värde är $\ln 2.$

2.

Definitionsmängden är $x\ne 0.$ Vertikal asymptot är $x=0.$ $\lim_{x\to \pm\infty} y-(x-2) =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x}=0\,$ så sned asymptot är $\,y=x-2\,$ då $x\to \pm\infty.$

$$y'=1-\frac{1}{x^2},\quad y''=\frac{2}{x^3}.$$

Alltså är $\,x=\pm 1\,$ nollställen till derivatan och andraderivatan ger att vi har lokalt minimum $\,= 0\,$ i $\,x=1\,$ och lokalt maximum = $\,-4\,$ i $\,x=-1.$ Eftersom kurvan saknar vertikala tangenter och $\,y''\,$ saknar nollställen kan det inte finns några inflexionspunkter.

3.

Arean är $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\sin^{-1}x\vert _0^1=\frac{\pi}{2}.$
Volymen är $2\pi\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx= -2\pi\sqrt{1-x^2}\vert _0^1=2\pi.$

4.

$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}= \lim_{x\to 0}\frac{(x-\frac{x^3}{2!}+\dots)/x -1}{x}=0.$

$$f'(x)=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2},\quad x\ne 0.$$

$$f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=[f'(0)=0]=\lim_{x\t... ...cos x-\sin x}{x^2}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}=$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac {x(1-\frac{x^2}{2!}+\dots)-(x-\frac{x^3}{3!}+\dots)}{x^3}= -\frac{1}{3}.$$

Alternativt kan vi använda teorin för potensserier i Adams, Ch. 9.5, 9.6. För alla $x\ne 0$ har vi

$$f(x)=\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}(x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5... ...^4}{5!}-\dots= \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}.$$

Eftersom $\,\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\,$ blir $\,f(x)\,$ kontinuerlig i $\,x=0\,$ om vi definierar $\,f(0)=1\,$ och serien konvergerar mot $\,f(x)\,$ för alla reella $\,x\,$ enligt kvotkriteriet. Enligt Sats 21 Ch. 9.5 får vi då $\,f^{(k)}(0)=k!\, a_k\,$ och det följer direkt att $\,f'(0)=0\,$ och $\,f''(0)=-\frac{2!}{3!}=-\frac{1}{3}.$ Med denna metod finner man lätt samtliga derivator $\,f^{(k)}(0)\,$ av $\,f(x)\,$ i $\,x=0.$

Till tentan

Tillbaka till Analys MN1