$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itet}\\ \textbf{Matematiska Institutionen}\\ T Erlandsson\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par TENTAMEN DEL I\\ ANALYS MN1\\ 2003-12-12\end{flushright}}$

Tentamen Del I består av 15 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 2 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
Tentamen Del II består av 3 problem. Se vidare instruktionerna till Del II.
För godkänt krävs totalt 18 poäng. För väl godkänt totalt 28 poäng.
Skrivtid: 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är integralen $\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx\,?$

2.

Vad är integralen $\int_{0}^{1}x\ln x\,dx \,?$

3.

Vad är $\lim_{x\to 0+}\frac{\cos \sqrt{x} -1}{x}\,$?

4.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{(1-x^2)^{3/2}-1}{x^2}\,$?

5.

Vilken är asymptoten till kurvan $y=\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,$?

6.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''=\sin x,\quad y(0)=y'(0)=0\,?$

7.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''+y=0, \quad y'(0)=y(0)=0\,$?

8.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y''+y=1,\quad y(0)=y'(0)=0\,$?

9.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y'-2xy=2x ,\quad y(0)=0\,$?

10.

Vad är lösningen till differentialekvationen $y'=2x\,(1+y),\quad y(0)=0\,?$

11.

Vad är summan av serien $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n e^{-n} \,$?

12.

Med kvottestet kan man bestämma att potensserien $\,\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{\sqrt{n}}\,$ har konvergensradien lika med 1. För vilka värden på $\,x\,$ konvergerar serien?

13.

$\,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\,$ är Maclaurinserien av funktionen $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\,\,\vert x\vert<1.$ Vad är $\,a_2\,?$

14.

Vad är konvergensradien för potensserien $\,\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^n x^n\,?$

15.

Maclaurinserien av en viss funktion $\,f(x)\,$ börjar med $\,x+\frac{1}{2}x^2+ \dots .$ Vad är $\,f''(0)\,?$

PROBLEM

1.

Skissera kurvan

$$y=\frac{xe^{-x}}{9-2x}.$$

Bestäm definitionsmängden, eventuella lokala extrempunkter och asymptoter.

Ledning: $y'= \frac{2x^2-9x+9}{(9-2x)^2}e^{-x}$

2.

Då kurvan

$$f(x)=\frac{1}{x^k},\,\, 0<x\le 1\,,$$

roterar kring $y$-axeln genereras en rotationskropp vars volym är

$$V(k)=2\pi\int_0^1 x\,f(x)\,dx.$$

Bestäm de värden på $\,k\,$ för vilka den så genererade rotationskroppen har ändlig volym samt beräkna denna. Skissera också rotationskropparna för $\,k=-2, -1, 0, 1, 2\,$ genom att skugga det område i $\,xy$-planet som genererar dessa kroppar. Vad är $\,\lim_{k\to -\infty}V(k)\,$?

$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...tematiska Institutionen}\\ H Avelin, A Pelander, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par Tentamen del II \\ ANALYS MN1\\ 2003-12-12\end{flushright}}$

Problemen är numrerade 4,5,6 och är värda 5 poäng var. På varje problem är du garanterad minst den poäng du skrivit på miniduggan med samma nummer. Din poäng på problem $x$ , $4\leq x \leq 6$ blir max(poäng på minidugga $x$, poäng på uppgift $x$).

4.

På denna uppgift är du redan garanterad minst den poäng du skrivit på minidugga 4 (Integraler).

Avgör om följande integral är konvergent, och bestäm i så fall dess värde:

$$\int_0^\infty \frac{e^x+1}{e^{2x}+1}\,dx.$$

5.

På denna uppgift är du redan garanterad minst den poäng du skrivit på minidugga 5 (Serier).

a)

Visa att $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^p \ln n}$ är konvergent för $p>1$.

(1p)

b)

Visa att $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^p \ln n}$ är divergent för $p<1$.

(2p)

c)

Använd integraltestet för att avgöra om $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln n}$ är konvergent eller divergent.

(2p)

6.

På denna uppgift är du redan garanterad minst den poäng du skrivit på minidugga 6 (Differentialekvationer).

Lös differentialekvationen $\qquad y''-3y'=1+e^{3x}$

-Lycka till!!!-

Trigonometriska formler

$\sin^2x+\cos^2x=1$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...a}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \qquad (-1<x<1) \end{array}$$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1