$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...ndsson, Lars-Åke Lindahl \\ Björn Ivarsson, Mattias Palmer\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} Tentamen\\ Analys MN1\\ 1999-12-17\end{flushright}}$

Skrivtid: 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.
Maximal poäng på varje problem är 5. För godkänt krävs 18 poäng och för väl godkänt 28 poäng inklusive eventuella bonuspoäng.

1.

Beräkna

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x^2)}{e^{x^2}-e^{-{x^2}}}\,.$$

2.

Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $\,y''+y= x\,$ för vilka $y(0)=0, \,y'(0)=1.$

3.

Beräkna integralerna

$$a)\quad \int_1^{e^{\pi/2}} \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx \qquad\q... ...\qquad b)\quad\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\tan^{-1}\sqrt{x}\,dx.$$

4.

Bestäm största möjliga volymen för den cylinder som bildas då rektangeln med hörn i

$$A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=(a,\sqrt{1-a^2}),\quad D=(0,\sqrt{1-a^2}),$$

roterar kring x-axeln, 0<a<1.

5.

Skissera kurvan

$$y=\frac{\vert x^2-1\vert}{x}.$$

Bestäm särskilt dess definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter.

6.

Lös differentialekvationen $y'-\frac{1}{x}\,y=x\cos x,\quad x>0.$

7.

Visa att serien

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{a+1}-n}$$

konvergerar för alla $\,a>0.$

8.

Bestäm de värden på konstanten $\,a\,$ för vilka funktionen $\,f\,$ är ett-till-ett (one-to-one), då

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr}x, &x\le 0\\ (1-a)x+a, &x>0. \end{array}\right.$$

V.G.V!

Trigonometriska formler

$\sin2x=2\sin x\cos x$	$\sin^2 (x/2)= (1-\cos x)/2$
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$	$\cos^2 (x/2)=(1+\cos x)/2$
$\hphantom{\cos2x}=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$	$\sin x\sin y= (\cos(x-y)-\cos(x+y))/2$
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	$\sin x\cos y= (\sin(x+y)+\sin(x-y))/2$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	$\cos x\cos y= (\cos(x+y)+\cos(x-y))/2$

Maclaurinutvecklingar

$$\begin{array}{rl} e^x &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\c... ...{{\alpha}({\alpha}-1)({\alpha}-2)}{3!} \,x^3+\cdots \end{array}$$

Till svar

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1