$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...atiska Institutionen}\\ T Erlandsson, H Avelin, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par DELTENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2001-10-15\end{flushright}}$

Deltentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng
Skrivtid: 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är lösningarna till ekvationen $\,\vert x-4\vert=5\,$?

2.

Vad är det exakta värdet av $\cos \frac{5}{2}\pi\,$?

3.

Vad är det exakta värdet av $\ln \sqrt{e}\,$?

4.

Vad är $\lim_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}\,$?

5.

Vad är $\lim_{x\to 1+}\frac{x-1}{\vert 1-x\vert}\,$?

6.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\tan^{-1}\sqrt{x}\,$?

7.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{1-x}\,$?

8.

$f(x)=\left\{\begin{array}{rcr} 1, &x\ne 0 \\ 10, &x=0.\end{array}\right.$ Vad är $\lim_{x\to 0}f(x)\,$?

9.

$f(x)=\frac{1}{\cos x}.$ Vad är $\,f'(x)\,$?

10.

$f(x)=\sin^{-1} \sqrt{x}.$ Vad är $\,f'(x)\,$?

11.

$f(x)=x\sin\frac{1}{x}.$ Vad är $\,f'(x)\,$?

12.

$f(x)=\tan^{-1}(x^2).$ Vad är $\,f'(x)\,$?

13.

$f(x)=\ln (3x).$ Vad är $\,f'(x)\,$?

14.

Vad är $\,\lim_{x\to 0}x^2\ln \vert x\vert\,$?

15.

Vad är $\lim_{x\to \infty}x^{10^{40000}}e^{-x}\,$?

16.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\frac{\ln x^2}{x}\,$?

17.

Vad är definitionsmängden för $\,\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,$?

18.

Vad är definitionsmängden för $\,\sqrt{\,\,\ln x}\,$?

19.

Vad är värdemängden för $\,\sin^{-1}x\,$?

20.

$f(x)=\frac{1}{x}.$ Vad är inversen $\,f^{-1}(x)\,$?

PROBLEM

1.

Bestäm skärningspunkten mellan $\,y-$axeln och den räta linje som tangerar kurvan $\,y=e^{-x}\,$ i $\,(1,\,e^{-1}).$

2.

Skissera grafen av funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 4-(x-2)^2, &0\le x\le 2,\\ x, & 2<x\le 5,\\ 10-x, & 5<x\le 10.\end{array}\right.$$

och bestäm alla lokala extremvärden. Ange också funktionens absoluta maximum och minimum. Motivera noggrant.

3.

Skissera grafen av funktionen

$$1+\frac{1}{1+x^2},\,0\le x < \infty$$

och motivera varför funktionen är ett-till-ett på den angivna definitionsmängden. Bestäm inversen $\,f^{-1}(x)\,$ samt dess definitionsmängd. Skissera också inversens graf.

4.

Skissera de båda kurvorna $\,y=1+(x-1)^2\,$ och $\,y=-1-(x+1)^2\,$ och bestäm antalet räta linjer som är tangenter till båda kurvorna. Bestäm kooordinaterna för tangeringspunkterna och skissera slutligen tangenterna i figuren över kurvorna.

Till svar och anvisningar

Till Analys MN1