$\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...matiska Institutionen}\\ T Erlandsson, H Avelin, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\textstyle \parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} DELTENTAMEN 2001-10-15\\ Analys MN1\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
$x=9$ och $x=-1$

2.
0

3.
$1/2$

4.
$-4$

5.
1

6.
$\pi/2$

7.
$-1$

8.
1

9.
$-(\cos x)^{-2}(-\sin x)$= $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$

10.
$\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

11.
$\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$

12.
$\frac{2x}{1+x^4}$

13.
$\frac{1}{x}$

14.
0

15.
0

16.
0

17.
$\vert x\vert>1$

18.
$x\ge 1$

19.
$\vert y\vert\le \frac{\pi}{2}$

20.
$\frac{1}{x}$
4 problem till vilka fullständiga lösningar ska redovisas.
SVAR OCH ANVISNINGAR
1.
Tangentens ekvation är $y-\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}(x-1 ).$ Skärningen med $y$-axeln fås då $x=0$ som ger $y=\frac{2}{e}.$

2.
Lokala extrempunkterna söks i singulära punkterna, kritiska punkterna och i ändpunkterna. $x=2$ är singulär punkt ty funktionen är inte ens kontinuerlig där då $\,f(2)=4\,$ och $\,\lim_{x\to 0+}f(x)=2.$ $f(x)=4-(x-2)^2<4=f(2) $ då $x<2$ och $f(x)=x<4$ för t ex $2<x<3$ så $f(2)=4\,$ är ett lokalt maximivärde. $x=5$ är en singulär punkt ty $f'_{-}(1)=1$ och $f'_{+}(1)=-1$ och $\,f(5)=5\,$ är på samma sätt ett lokalt maximivärde. I ändpunkterna $\,x=0\,$ och $\,x=10\,$ har funktionen lokala minimivärden, då $\,f(0)=f(10)=0 \,$ och $\,f(x)>0$ i resten av intervallet. Funktionens absoluta maximum är $\,f(5)=5\,$ och dess absoluta minimum är 0.

3.
$f(x)=1+\frac{1}{1+x^2}$ är avtagande för $x> 0$ då $f'(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}<0.$ Varje horisontell linje skär alltså grafen av $f(x)$ i högst en punkt. $f(x)$ är alltså 1-1. Finesser vid kurvritningen: $y=1\,$ är horisontell asymptot. Inflexionspunkt i $\,(1/\sqrt{3},7/4).$

\begin{displaymath}f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}-1},\quad 1<x\le 2.\end{displaymath}

4.
Låt tangeringspunkten vara $\,P=\,(a,-1-(a+1)^2)\,$ och $\,Q=\,(b,1+(b-1)^2)\,$ där $\,a\,$ och $\,b\,$ ska bestämmas. Tangenten i $\,P\,$ har lutningen $\,y'(a)=-2(a+1)\,$ och tangenten i $\,Q\,$ lutningen $\,y'(b)=2(b-1).$ Eftersom vi ska ha en gemensam tangent är dessa lutningar lika, dvs $\,-2(a+1)=2(b-1)\,$ som ger

\begin{displaymath}a=-b.\end{displaymath}

Den gemensamma tangentens lutning $\,k\,$kan också anges med hjälp av koordinaterna för $\,P\,$ och $\,Q.$

\begin{displaymath}k=\frac{(b-1)^2+(a+1)^2 + 2}{b-a}.\end{displaymath}

Om vi utnyttjar att $\,k\,$ också är lika med t ex $\,2(b-1)\,$ ovan får vi ekvationen

\begin{displaymath}\frac{(b-1)^2+(a+1)^2 + 2}{b-a}=2(b-1)\end{displaymath}

som tillsammans med att $\,a=-b\,$ ger $\,b=\pm\sqrt{2}\,$ och alltså $\,a=\mp\sqrt{2}.$ Vi får alltså två gemensamma tangenter till kurvorna. En tangent med tangeringspunkterna

\begin{displaymath}P=(-\sqrt{2},-4+2\sqrt{2})\quad Q=(\sqrt{2},4-2\sqrt{2})\end{displaymath}

samt en tangent med tangeringspunkterna

\begin{displaymath}\,P=(\sqrt{2},-4-2\sqrt{2})\quad Q=(-\sqrt{2},4+2\sqrt{2}).\end{displaymath}


Till tentan Tillbaka till Analys MN1