$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...tutionen}\\ T Erlandsson, H Avelin, A Pelander, \\ K Sigstam \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par DELTENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 2002-10-14\end{flushright}}$

Deltentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 4 PROBLEM (max 5 poäng per problem) till vilka fordras fullständiga lösningar.
För godkänt krävs 18 poäng
Skrivtid: 9.00-14.00 Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

För vilka värden på $\,x\,$ gäller $\,\vert x-2\vert>2\,$?

2.

Vad är det exakta värdet av $\sin \frac{35\pi}{2}\,$?

3.

Vad är det exakta värdet av $\ln \frac{1}{\sqrt{e}}\,$?

4.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+ \sin x}{x^2+\cos x}\,$?

5.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\tan^{-1}(x^2)\,$?

6.

Vad är $\lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+1}-x)\,$?

7.

Vad är $\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\,$?

8.

Funktionen $\,f(x)\,$ är deriverbar på $\,\mathbf{R}\,$ och $\,f(0)=0.$ Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\,$?

9.

$f(x)=\frac{1}{\sin x}.$ Vad är $\,f'(x)\,$?

10.

$f(x)=\sin^{-1}(x^2).$ Vad är $\,f'(x)\,$?

11.

$f(x)=\tan^{-1}\sqrt{x}.$ Vad är $\,f'(x)\,$?

12.

$f(x)=\ln(\sin x).$ Vad är $\,f'(x)\,$?

13.

$f(x)=x\ln \vert x\vert,x\ne 0.$ Vad är $\,f'(x)\,$?

V.G.V!

14.

Vad är $\,\lim_{x\to 0+}\ln x\,$?

15.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}e^{\sin x}\,$?

16.

Vad är $\,\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}e^{-1/x^2}$?

17.

Vad är definitionsmängden för $\,\sin^{-1}(2x)\,$?

18.

Vad är värdemängden för $\,\sin^{-1}(2x)\,$?

19.

Vad är $\,\sin^{-1}(\sin\frac{3\pi}{2})?\,$

20.

$f(x)=e^{x/2}.$ Vad är inversen $\,f^{-1}(x)\,$?

PROBLEM

1.

En rät linje genom origo tangerar kurvan $\,y=\ln x.$ Bestäm koordinaterna för tangeringspunkten.

2.

Bestäm alla lokala extremvärden av funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\ln x, &0< x <1,\\ -1+\frac{1}{x}, & x\ge 1 \end{array}\right.$$

och skissera grafen. Avgör också om funktionen har absoluta extremvärden och ange dem i förekommande fall. Motivera noggrant.

3.

Skissera grafen av funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^x-1, &-\infty < x \le \ln 2,\\ e^{-x}+1, & x> \ln 2 \end{array}\right.$$

och motivera varför funktionen är ett-till-ett på den angivna definitionsmängden. Bestäm inversen $\,f^{-1}(x)\,$ samt dess definitionsmängd. Skissera också inversens graf.

4.

Låt

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\cos\frac{1}{x}, &x\ne 0,\\ 0, & x=0. \end{array}\right.$$

Beräkna $\,f'(0).$

Till svar och anvisningar

Till Analys MN1