$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...itutionen}\\ T Erlandsson, H Avelin, A Pelander, \\ K Sigstam \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} DELTENTAMEN 2002-10-14\\ Analys MN1\\ \end{flushright}}$

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

$x>4$ och $x<0$

2.

$-1$

3.

$-1/2$

4.

$1$

5.

$\frac{\pi}{2}$

6.

$0$

7.

$3$

8.

$f'(0)$

9.

$-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

10.

$2\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}$

11.

$\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

12.

$\frac{\cos x}{\sin x}$

13.

$\ln \vert x\vert+1$

14.

$-\infty$

15.

0

16.

0

17.

$-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$

18.

$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

19.

$-\frac{\pi}{2}$

20.

$y=\ln x^2$ ($y=2\ln x$)

4 problem till vilka fullständiga lösningar ska redovisas.

SVAR OCH ANVISNINGAR

1.

Låt tangeringspunkten vara $P=(x_0,\ln x_0).$ En tangent i $P$ har lutningen $\frac{1}{x_0}.$ En linje genom $P$ och origo har lutningen $\frac{\ln x_0}{x_0}.$ Likhet ger $\ln x_0=1$ och $P=(e,1).$

2.

Då definitionsmängden är öppen sökes lokala och absoluta extrempunkterna bland de kritiska och singulära punkterna.

$$f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln x+1, &0< x <1\\ -\frac{1... ...in{array}{ll} f'_{-}(1)=1 \\ f'_{+}(1)=-1 \end{array}\right.$$

$\ln x+1=0$ omm $x=1/e$ som är lokal minimipunkt ty $f''(1/e)=e>0.$ $x=1$ är en singulär punkt, lokalt maximum. Då $f$ är kontinuerlig och $\lim_{x\to 0+}f(x)=-0,$ $\lim_{x\to \infty}f(x)=-1$ så är $f(1)=0$ absolut maximum (Adam's Gift). Däremot har funktionen inget absolut minimum ty $f(1/e)=-1/e>-1.$

3.

För $-\infty<x\le \ln 2$ är $f(x)$ strikt växande och $f(\ln 2)=1.$ För $x>\ln 2$ är $f(x)$ strikt avtagande, $\lim_{x\to \ln 2+}f(x)=3/2$ och $f(x)>1.$ Varje horisontell linje skär alltså grafen av $f(x)$ i högst en punkt. $f(x)$ är alltså 1-1. $f(x)$ har $y=-1$ som horisontell asymptot då $x\to -\infty$ och $y=1$ som horisontell asymptot då $x\to \infty.$

$$f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln(x+1), &-1 < x \le 1,\\ \ln \frac{1}{x-1}, & 1<x< 3/2. \end{array}\right.$$

4.

$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}x\cos\frac{1}{x}=0$ eftersom $\cos\frac{1}{x}$ är begränsad. Det går inte att beräkna $f'(0)$ som $\lim_{x\to 0}f'(x)= \lim_{x\to 0}(2x\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x})= \lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ som ju inte existerar. $f'(x)$ är inte kontinuerlig i $x=0.$ Detta betyder också att vi vet att $f''(0)$ inte existerar utan att vi behöver verifiera detta genom uträkning.

Till tentan

Tillbaka till Analys MN1