$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...rlandsson, L-Å Lindahl, \\ B Ivarsson, Y Ameur, K Sigstam\\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} \par ÖVNINGS-DELTENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ \end{flushright}}$

Deltentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 8 PROBLEM (max 10 poäng per problem) till vilka fullständiga lösningar ska lämnas in.
För godkänt krävs 45 poäng
Skrivtid: 5 timmar Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är lösningen till ekvationen $\,\vert x-2\vert=1?$

2.

Vad är definitionsmängden för $\frac{1}{1-\sqrt{x}}?$

3.

Vad är värdet av $\tan \frac{\pi}{4}?$

4.

Vad är $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}?$

5.

Vad är $\lim_{x\to 1-}\frac{x^2-1}{\vert x-1\vert}?$

6.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\frac{x+\tan^{-1}x}{x+\cos x}?$

7.

Vad är $\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}?$

8.

Låt $f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} \frac{x^2}{\vert x\vert}, &x\ne 0\\ a, &x=0.\end{array}\right.$ Vad är $\,a\,$ då $\,f\,$ är kontinuerlig i origo?

9.

$f(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}.$ Vad är $\,f'(x)?$

10.

$f(x)=(1+2\sqrt{x})^{-\frac{1}{2}}.$ Vad är $\,f'(x)?$

11.

$f(x)=\tan\sqrt{x}.$ Vad är $\,f'(x)?$

12.

$x^3y+xy^3 = 1.$ Vad är $\,y'\,$ uttryckt i $\,x\,$ och $\,y?$

13.

Det finns ett enklare uttryck för $e^{3\ln\sin x}.$ Vilket?

14.

$f(x)=\ln(\ln x)^2.$ Vad är $\,f'(x)?$

15.

Vad är $\,\lim_{x\to 0+}x\ln x^2?$

16.

Vad är värdet av $\,\tan^{-1}(1)?$

17.

Vad är värdet av $\,\sin^{-1}(\sin\frac{\pi}{4})?$

18.

$f(x)=x\tan^{-1}x.$ Vad är $\,f'(x)?$

19.

$f(x)=\sin^{-1}\frac{x}{a}.$ Vad är $\,f'(x)?$

20.

Det finns ett enklare uttryck för $\,\sinh \ln a.$ Vilket?

PROBLEM

1.

Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar kurvan $\,y=\sqrt{x}\,$ i $\,x=4.$

2.

Skissera kurvan $\,y=\vert x^2-1\vert.$ I vilka punkter är kurvan ej differentierbar? Motivera.

3.

Bestäm konstanten $\,a\,$ så att funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} x^2+a, &x\le 0\\ \cos 3x, & x>0\end{array}\right.$$

blir kontinuerlig i $\,x=0.$ Motivera noggrant.

4.

Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom $\,(1,0)\,$ och som tangerar kurvan $\,y=-\frac{1}{\sqrt{x}}.$

5.

Låt $\,y\,$ definieras som en funktion $\,y=f(x)\,$ genom sambandet

$$x=\frac{e^y+e^{-y}}{2}.$$

Bestäm explicit funktionen $\,f(x)\,$ och ange dess definitionsmängd.

6.

Bestäm konstanterna $\,a\,$ och $\,b\,$ så att funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} ax+b, &x\le 0\\ x^2\ln x, & x>0\end{array}\right.$$

blir deriverbar i $\,x=0.$ Motivera noggrant.

7.

Visa att funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} 1-x^2, &x< 0\\ 1+x^2,& x>0\end{array}\right.$$

är 1-1. Bestäm inversen $\,f^{-1}(x)\,$ och ange dess definitionsmängd.

8.

Antag att $\,f\,$ är kontinuerlig på det slutna intervallet $\,[0,1]\,$ och att $\,0\le f(x)\le 1\,$ för varje $\,x\,$ i $\,[0,1].$ Visa att det måste existera ett tal $\,c\,$ i $\,[0,1]\,$ så att $\,f(c)=\sin \frac{\pi}{2}c.$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1