$\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushleft}\vspace{-\baselineskip} {\L... ...}\\ T Erlandsson, L-Å Lindahl, \\ B Ivarsson, M Palmer \\ \end{flushleft}}$ $\parbox{0.45\textwidth}{\begin{flushright}\vspace{-\baselineskip} DELTENTAMEN \\ ANALYS MN1\\ 1999-10-13\end{flushright}}$

Deltentamen består av 20 FRÅGOR (max 1 poäng per fråga) till vilka endast svar ska ges och 8 PROBLEM (max 10 poäng per problem) till vilka fullständiga lösningar ska lämnas in.
För godkänt krävs 45 poäng.
Skrivtid: 5 timmar Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon.

FRÅGOR

1.

Vad är lösningen till ekvationen $\,\vert x+2\vert=1?$

2.

Vad är definitionsmängden för $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}?$

3.

Vad är $\lim_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}?$

4.

Vad är $\lim_{x\to -1-}\frac{x^2-1}{\vert x+1\vert}?$

5.

Vad är $\lim_{x\to \infty}\frac{2x+1}{3x+2}?$

6.

Vad är $\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{(x^3+1)^\frac{1}{3}}?$

7.

Vad är $\lim_{x\to 0}\frac{\sin \vert x\vert}{\vert x\vert}?$

8.

$f(x)=\frac{1}{x^4}.$ Vad är $\,f'(x)?$

9.

$f(x)=(1+\sin x)^{\frac{1}{2}}.$ Vad är $\,f'(x)?$

10.

$f(x)=\cos^2 x.$ Vad är $\,f'(x)?$

11.

$xy+y^2 = 1.$ Vad är $\,y'\,$ uttryckt i $\,x\,$ och $\,y?$

12.

Vad är värdet av $\ln e^2?$

13.

$f(x)=\ln\frac{1}{x}.$ Vad är $\,f'(x)?$

14.

Vad är $\,\lim_{x\to 0+}\sqrt{x}\ln x?$

15.

Vad är $\,\lim_{x\to\infty}\frac{ x^{1000}}{e^x}?$

16.

Vad är värdet av $\,\sin^{-1}(1)?$

17.

Vad är värdet av $\,\cos(\cos^{-1}(\frac{1}{2}))?$

18.

$f(x)=\tan^{-1}(x^2).$ Vad är $\,f'(x)?$

19.

$f(x)=\sin^{-1}\sqrt{x}.$ Vad är $\,f'(x)?$

20.

Funktionen $\,f(x)=e^{-x}.$ Hur kan man enklast ange $\,f( \ln a)?$

PROBLEM

1.

Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar kurvan $\,y=x^\frac{1}{3}\,$ i $\,x=8.$

2.

Skissera kurvan $\,y=\vert x+2\vert.$ I vilka punkter är kurvan ej differentierbar? Motivera.

3.

Lös olikheten

$$\frac{1}{x-1}<\frac{1}{x+1}.$$

Lösningsmängden ska anges som ett eller flera intervall.

4.

Bestäm konstanten $\,a\,$ så att funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} \cos 2x, &x\le 0\\ x+a,& x> 0\end{array}\right.$$

blir kontinuerlig i $\,x=0.$ Motivera noggrant.

5.

Bestäm ekvationen för alla räta linjer som går genom $\,(3,5)\,$ och som tangerar kurvan $\,y=x^2.$

6.

Låt $\,y\,$ definieras som en funktion $\,y=f(x)\,$ genom sambandet

$$x=\frac{1}{2}(y-\frac{1}{y}),\,y>0.$$

Bestäm explicit funktionen $\,f(x)\,$ och ange dess definitionsmängd.

7.

Visa att funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} 2x+1, &x< 0\\ x+1,& x>0\end{array}\right.$$

är 1-1. Bestäm inversen $\,f^{-1}(x)\,$ och ange dess definitionsmängd.

8.

Beräkna $\,f''(0)\,$ av funktionen

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rrr} x^3\ln \vert x\vert,&x\ne 0\\ 0 & x=0.\end{array}\right.$$

Ledning: $f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}.$

Till svar och anvisningar

Tillbaka till Analys MN1